Test-Testat 2. 11.

1. Bestimmen Sie die Zahl y = tan$\beta$ mit tan(4$\alpha$ + $\beta$) = 1 für x = tan$\alpha$ = 1/5.
2. Für jede Zahl n$\ge$2:

   Die Matrix A der Form n×n enthält auf der Hauptdiagonale immer die 2 und auf den beiden ersten Nebendiagonalen immer die -1.

   Das erhält man in Mupad einfach so:

   matrix(n,n,[-1,2,-1],Banded)
   

   und ausführlich so:

   A := n -> matrix (n,n, (i,j) -> 
      if i = j then 2 
      else if i = j-1 or i = j + 1 then -1 else 0 end_if 
      end_if  )
   

   Beschreiben Sie die Inverse B von A durch ein ähnliches Programm! D. h. A(n)*B(n) soll immer die Einheitsmatrix ergeben.

3. Beweisen Sie, daß alle Eigenwerte von A positiv sind. (Quelle: Berkeley Problems in Mathematics, Spring 1990, Problem 12, http://math.berkeley.edu/~desouza/pb.html)

   Bemerkung 1: Die Matrix ist symmetrisch, also sind die Eigenwerte reell.

   Bemerkung 2: mit linalg::eigenvalues sehen Sie, daß Mupad das nicht immer merkt. Wir rechnen aber anders:

   Wenn der Spaltenvektor x^T ein Eigenvektor von A zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann gilt nach Definition Ax^T = $\lambda$x^T. Betrachten Sie x ^. A ^. x^T.

   Einen geeigneten Vektor erhalten Sie mit

   X := n -> matrix([[x.i $ i = 1 .. n ]])
   

4. Berechnen Sie mit numeric::eigenvalues einige Werte. Für welche n sind die Zahlen 1, 2, 3, 4 Eigenwerte? Können Sie das beweisen?