Die ABC-Vermutung

• exakte Aussage über die Menge: große (a, b, c), a + b = c, gcd(a, b) = 1 und abc hat nur kleine Primfaktoren
• Def: das Radikal, rad(n) = Produkt d. Primfaktoren v. n,

  Bsp: rad(1000) = rad(2⁴⋅5⁴) = 2⋅5 = 10

• Ansatz: wenn a + b = c, gcd(a, b) = 1, dann c≤rad(abc)?

  ist aber (unendlich oft) falsch, a = 1, b = 3²ⁿ -1, c = 3²ⁿ

• Oesterle, Masser 1985: für jedes ε > 0 gibt es nur endlich viele a, b, c mit: a + b = c, gcd(a, b) = 1, c > rad(abc)^1+ε
• Beweis behauptet Mochizuki (2012), von Fachwelt nicht akzeptiert (vgl. Peter Woit: ABC is still a conjecture, 2021)
• Def: die Qualität q(a, b, c) = log(c)/log(rad(abc))

  Rekord derzeit: q(2, 3¹⁰⋅109, 23⁵) = 1.62991...