Gruppen, Ringe, Körper

• Definitionen (Wiederholung)
  • Monoid: Addition, Null
  • Gruppe: wie Monoid, und Subtraktion
  • Ring: wie Gruppe und zusätzlich Multiplikation, Eins
  • Körper: wie Ring und zusätzlich Division
  • Vektorraum (ü. Körper): Gruppe, skalare Multiplikation
• Bsp: $\mathbb {N}$,$\mathbb {Z}$,$\mathbb {Z}$/6$\mathbb {Z}$,$\mathbb {Z}$/7$\mathbb {Z}$,$\mathbb {Q}$,$\mathbb {R}$,$\mathbb {R}$²,$\mathbb {C}$,$\mathbb {Z}$[X]
• zusätzliche Eigenschaften (Beispiele)
  • Ring heißt nullteilerfrei: ∀a, b : a≠0∧b≠0⇒(ab)≠ 0
  • Ring heißt euklidisch (bzgl. Funktion |⋅| : R→$\mathbb {N}$),

    wenn ∀a, b≠0 : ∃q, r : a = q⋅b + r mit | r| < | b|