Transformationen

Wir suchen nach Operationen, die aus einem Siteswap einen anderen machen (d. h. Transformationen von Zahlenfolgen, die die Jonglierbarkeit erhalten).

Plätze tauschen

Wir betrachten zwei Bälle A und B, die zur Zeit a und b geworfen werden. Wir möchten es jetzt so einrichten, daß A an Bs Stelle (Zeit) landet, und B an As. Beide vertauschen also ihren Platz im Muster. (Diese Operation ist das eigentliche "site swapping".) Dann muß A länger in der Luft sein (und zwar um b-a Einheiten) und B um die gleiche Differenz kürzer. 
      x_a            x_b      
      x_b + (b-a)    x_a - (b-a)
Durch diese Transformation bleibt offenbar die Jonglierbarkeit erhalten. Die Ballzahl ändert sich nicht. Die Summe der xi ist konstant.

Besondere Würfe: 2, 0

Überall eine Eins addieren

Ausgehend von einem beliebigen Muster wünschen wir uns, daß jeder Ball um eins länger in der Luft ist. Dadurch fehlt ein Ball (wenn im Originalmuster der erste Ball zum zweitenmal dranwäre) an dieser Stelle nehmen wir einen neuen.

Beispiel: 441 -> 552, 423 -> 534 -> 645

Periodenlänge addieren

Diese Aktion ist am leichtesten einzusehen, wenn wir die denotationale Semantik heranziehen: ob ein Wurf xi oder xi + k * n ist, spielt für die Jonglierbarkeit keine Rolle. Deswegen dürfen wir in jedem Muster zu einer beliebigen Zahl ein Vielfaches der Periode addieren.

Beispiele: 501 -> 531 -> 561, 531 -> 534, 441 -> 741 -> 771, 501 -> 801

Das reicht

Damit haben wir ein vollständiges Regelsystem, um jeden Siteswap aus (0, .. 0) abzuleiten.

Man fragt sich, ob man die Menge der Regeln weiter reduzieren kann, und immer noch vollständig bleibt. Es genügen tatsächlich

Nur Siteswapping reicht nicht, wenn wir mit (0, .. 0) beginnen, weil wir dadurch nie die Ballzahl erhöhen können. Wir können aber als Axiome alle (h, ... h) nehmen, dann reicht siteswapping (mit Abstand eins) allein.

Für Mathematiker: Woran liegt das? Die volle Permutationsgruppe wird bereits von den Vertauschungen benachbarter Elemente erzeugt.

Eine Hausaufgabe

Beweise oder widerlege 
Wenn für die Zahlen (x1, .., xn) gilt  
(x1 + ... + xn) = 0 mod n,
dann kann man sie zu einem Siteswap permutieren.
Die Vermutung stammt von Alan Mackenzie, und mir fällt und fällt kein Beweis ein. Wer was hat, sagt mir bescheid, und bekommt einen Preis.

Die Schwierigkeit besteht hier darin, daß Siteswapping auf Mengen schlecht möglich ist, da man den Abstand der Elemente nicht kennt. Man könnte in dem Moment zwar einen festlegen, aber diese Festlegung könnte sich später als falsch erweisen. Also darf man nur die zweite und dritte Operation anwenden. Falls man dadurch auf eine Ballzahl eins kommt, habe ich einen Beweis. Das ist aber nicht immer so. (Beispiel: 755331 -> 155331 -> 044220 -> 533115 -> 422004)