Übungs/Haus-Aufgaben

Das sind Beispiele für Tätigkeiten, die in dieser LV (und in allen anderen) immer wieder vorkommen: nicht nur Software bedienen und Knöpfchen drehen, sondern auch:

Analysieren, Rechnen, Recherchieren, historisch einordnen, Programmieren (Synthetisieren).

(bereits in Ü) ausprobieren: Hydrogen (Drum-Sequencer) $\to$ Rakarrack (Effekt-Prozessor)

Audio-Routing mit qjackctl
Finden Sie die von Hydrogen benutzte Audio-Datei für TR808 Emulation Kit, Kick Long

anhören mit vlc,

konvertieren Sie mit sox in wav-Format, (Hinweis: man sox),

betrachten Sie Dateiinhalt (Amplituden-Verlauf) mit
```
gnuplot -persist -e "plot 'kick.wav' binary format='%int16' using 0:1 with lines"
```
Bestimmen Sie mittels dieses Bildes die Grundfrequenz der Schwingung. Welche weitere Information ist dazu nötig, woher bekommen Sie diese?
betrachten Sie Dateiinhalt mit
```
od -cx kick.wav | less
```
Wo endet der Header (wo steht das erste Datenbyte)?

Suchen Sie die offizielle WAV-Spezifikation, bestimmen Sie deren bibliografische Daten (Autor/Gremium, Ort, Jahr)

Erzeugen Sie durch ein selbstgeschriebenes Programm (Sprache beliebig) eine wav-Datei, die einen (kurzen) Sinus-, Dreieck-, oder Rechteckton enthält,

ansehen mit gnuplot, abspielen mit vlc,

verwenden Sie das als Sample in Hydrogen.
Wie sah diese Maschine (TR808) aus?

Welche Band führt diese Maschine im Namen?
(Hinweis: http://www.vintagesynth.com/)

Kann Hydrogen alle dort angegebenen Eigenschaften des Originals simulieren?

beschreiben Sie Struktur und (einige) Elemente von Ritchie Hawtin: Minus Orange 1, Aphex Twin: Flaphead o.ä., simulieren Sie mit Hydrogen und Rakarrack.

Begriffe

Geräusch:
- erzeugt durch Schwingungen eines physikalischen Systems (z.B. Musikinstrument)
- übertragen durch Druckschwankungen in einem Medium (z.B. Luft), durch Ohr wahrnehmbar
Klang: …durch periodische Schwingungen …
virtuelle (elektronische) Instrumente
- simulieren den physikalischen Vorgang
- oder speichern nur dessen Verlauf
Unterschied zu automatischem Spiel reeller Instrumente

Modell einer periodischen Schwingung

Modell:
- ein Körper mit Masse $m$ und Ruhelage $0$
  
  bewegt sich auf einer Geraden $g$,
  
  d.h., hat zum Zeitpunkt $t$ die Koordinate $y(t)$
- die Rückstellkraft (bei Pendel: durch Schwerkraft, bei schwingender Saite: durch Elastizität) ist $F= -k\cdot y$.
  
  Notation: das ist eine Gl. zw. Funktionen (der Zeit)!
mathematische Beschreibung
- Geschwindigkeit $v = y'$, Beschleunigung $a = v' = y''$
- nach Ansatz ist $a= F/m = - (k/m) \cdot y$
- $y$ ist Lsg. der Differentialgleichung $-(k/m) y = y''$

Numerische Näherungslösung der Dgl.

gegeben $k, m$, bestimme Funktion $y$ mit $-(k/m) y = y''$
numerische Näherungslösung durch Simulation:

ersetze Differentialgleichung durch Differenzengleichung

wähle $y_0$ (initiale Auslenkung), $\Delta>0$ (Zeitschritt),

bestimme Folgen $y_0, y_1,\dots,v_0=0,v_1,\dots,a_0,a_1,\dots$

mit $a_i=-(k/m) y_i$, $v_{i+1}=v_i+\Delta a_i$, $y_{i+1}=y_i+\Delta v_i$
genaueres in VL Numerik,

z.B.: Stabilität besser, wenn $y_{i+1}=y_i+\Delta v_{i+1}$

Implementierung der numerischen Sim.

Zustandstyp: $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ (Ort $\times$ Geschwindigkeit),

Zustandsfolge mit

iterate :: (a -> a) -> a -> [a]

let { d = 0.1 } in iterate 
  (\ (y,v) -> 
     let { a = negate y 
         ; vn = v + d * a ; yn = y + d * vn
     } in (yn,vn)) 
  (1,0)

anzeigen:

https://hackage.haskell.org/package/gnuplot

(Henning Thielemann), WAV ausgeben:

https://hackage.haskell.org/package/WAVE

(Bart Massey)

Exakte Lösung der Dgl.

gegeben $k, m$, bestimme Funktion $y$ mit $-(k/m) y = y''$
genaueres siehe VL Analysis, z.B. Ansatz von $y$ als
- Potenzreihe $y=\sum_{k\in\mathbb{N}} c_k x^k$, Koeffizientenvergleich von linker und rechter Seite der Dgl.
- Linearkombination von anderen Basisfunktionen (anstatt Potenzen)
wenn man Glück hat, oder die numerische Lösung gesehen hat:

Ansatz $y(t) = \cos (f \cdot t)$
wir erhalten die reine harmonische Schwingung

Schwingung einer Saite

…aus vielen Massepunkten, $u:\text{Ort}\times\text{Zeit}\to\text{Auslenkung}$
Elastizität des Materials wirkt in jedem Punkt

als Kraft in Richtung beider Nachbarn
Differenzengl., diskret: $y_k''=(y_{k-1}-y_k)+(y_{k+1}-y_k)$

math. Modell, kontinuierlich: $d^2 u/(d t)^2 = c\cdot d^2 u/(d x)^2$,

Randbedingungen $u(0,t)=u(1,t)=0$, $u(x,0)=0$
Ansatz $u(x,t)=f(x)\cdot g(t)$, es gibt mehrere Lösungen
Dgl. ist linear: jede Summe von Lösungen ist Lösung
Hermann Helmholtz: Vorl. über die mathematischen Prinzpien der Akustik, Leipzig 1898 https://archive.org/details/vorlesungenber03helmuoft

Anpassung und Anwendung

diese Modell ist Energie-erhaltend

tatsächlich wird aber Energie abgegeben (1.über das Medium an den Sensor, 2. durch Reibung im schwingenden Körper als Wärme an die Umgebung)
Modellierung der Dämpfung z.B. durch Reibungskraft proportional zu Geschwindigkeit $F_R = r\cdot v = r\cdot y'$

Aufstellen und Simulation der Dgl. in Übung.
mit diesem Modell können wir beschreiben:
- Klang einer Saite (Gitarre, Klavier, Cembalo)
  
  (nicht Geige)
- Klang eines Trommelfells (Fußtrommel, nicht Snare)

Beispiel: Mbira (Daumenklavier)

Zungen aus Holz oder Metall auf Resonanzkörper
Hörbeispiele: Stella Chiweshi: Chigamba,

Konono No. 1: Konono Wa Wa

Beispiel: schwingende Metallstäbe

Spielzeug-klavier
Fender-Rhodes-Piano (1965–1984) https://www.fenderrhodes.com/org/manual/toc.html

Hörbeispiele: Miles Davis: Spanish Key 1969,

Steely Dan: Babylon Sisters 1980
Vibraphon (Metallstäbe, Resonanzröhren mit beweglicher Abdeckung)

Hörbeispiele: Tortoise: Ry Cooder 1994,

Claudia Quintet: September 20 Soterious Lakshmi 2013

Weitere period. Schwingungen f. Instrumente

Wirkung der Dämpfung kann durch regelmäßige Energiezufuhr ausgeschaltet werden ($\Rightarrow$ angeregte Schwingung) z.B. das Anstoßen einer Schaukel
Geige:

Bewegung des Bogens führt der Saite Energie zu

regelmäßige Unterbrechung durch Kontaktverlust Bogen–Saite bei zu starker Auslenkung
Blasinstrumente:

Anblasen führt der schwingenden Luftmenge Energie zu

regelmäßige Unterbrechung durch Blatt (Oboe, Saxofon), Lippen (Trompete) oder Luftsäule selbst (Orgel, Flöte)

Beispiele

Querflöte

Bobbi Humphrey Harlem River Drive 1973
Saxophon

John Coltrane, A Love Supreme, 1965
Posaune, Mundharmonika (?)

Lee Perry Heavy Rainford 2019 (Prod. Adrian Sherwood)
Melodica (angeblasene Metallzungen, vgl. Triola)

Augustus Pablo King Tubbys Meets The Rockers Uptown 1974,

vgl. David Katz: A beginner’s guide to Augustus Pablo Fact Magazine, 2015 https://www.rockersinternational.com/

Geräusch-Instrumente

nichtperiodisches Verhalten kann erzeugt werden durch
- Überlagerung (fast gleichzeitiger Ablauf) sehr vieler unterschiedlicher periodischer Schwingungen
  
  für zahlreiche (Rhythmus)-Instrumente benutzt, z.B.
  - Maracas (Rumba-Kugel): enthalten viele kleine harte Klangkörper, die aneinanderstoßen
  - Snare (kleine Trommel): mehrere Federn, die gegen Fell der Unterseite schlagen (schnarren)
nichtperiodische Schwingung eines phys. Systems

z.B. Doppel-Pendel, Mehr-Körper-System

keine direkte Anwendung als Instrument bekannt,

Simulation evtl. für virtuelle Instrumente nützlich

Chaotische Schwingungen

wenn man das wirklich nur simulieren möchte (nicht physikalisch realisieren)
dann kann man auch mathematische Modelle ohne physikalisches Äquivalent betrachten
Bsp: Iteration von $f: [0,1]\to[0,1]: x\mapsto 4\cdot (x - 1/2)^2$

zeigt aperiodisches (chaotisches) Verhalten
Bsp: bitweise Manipulation (der Zeit)

t * ((t>>12|t>>8)&63&t>>4)
ergibt (im Allgemeinen) nur ein Rauschen,

Grundlage für Simulation andere Klänge (mit Filtern)
aber im Speziellen: interessante Klänge möglich

https://wurstcaptures.untergrund.net/music/

Hausaufgaben

Wie wird Musikgeschichte zitiert (im Klang und) im Text von: DJ Hell: Electronic Germany (2009)

Wer singt auf U Can Dance des gleichen Albums? War früher (viel früher) in welcher Band? Wer hat dort anfangs elektronische Instrumente gespielt? Danach welchen Musikstil erfunden?

weitere Beispiele für Musikzitate suchen, genau beschreiben, was zitiert wird, wie groß der Abstand ist (zeitlich, inhaltlich) und diskutieren, warum.
harmonischen bzw. gekoppelten Oszillator modifizieren: Schwingungen simulieren, Resultate ansehen,
- periodische
- gedämpfte (durch Zusatz-Term in harmonischem)
- chaotische (durch Nichtlinearität in der Kopplung)
anhören
- einzeln
- als Drumkit in Hydrogen
die Simulation der Saite verändern:

das Beispiel aus Helmholtz § 39 Fig. 7 realisieren (Zupfen der Saite nicht in der Mitte), Resultat mit Fig. 11 vergleichen

§ 42 realisieren (belastete Saite: ein Punkt hat andere Masse)
kleine Bit-Musikstücke (Beispiel: t << (t>>10)) vollständig analysieren, dann modifizieren.

Klang-Analyse (Grundlagen)

Definition, Motivation

jede periodische Schwingung kann als gewichtete Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden

(Jean Fourier, 180?, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fourier.html)
die Folge dieser Gewichte der Obertöne ist das Spektrum, das charaktetisiert die Klangfarbe
Änderung des Wellenform

linear (z.B. Filter), nichtlinear (z.B. Verzerrer)

kann beschrieben werden als Änderung des Spektrums,

diese ist ggf. leichter zu berechnen

Periodische Funktionen

für $\Omega=[-\pi,\pi]$ betrachte $\textsf{P}=\{f\mid f:\Omega\to\mathbb{R}\}$.
$\textsf{P}$ ist Vektorraum (Addition, Skalierung) und Hilbert-Raum
Skalarprodukt $\displaystyle \langle f,g\rangle := \int_\Omega f(x)\cdot g(x) ~ dx$, Norm $|f|=\sqrt{\langle f,f\rangle}$
$b_1=1, b_2=\sin(x),b_3=\cos(x),b_4=\sin(2x),b_5=\cos(2x),\dots$

bilden eine orthogonale Basis für $\textsf{P}$

nach geeigneter Skalierung sogar orthonormal
jedes $f\in \textsf{P}$ eindeutig darstellbar als Linearkombination von Basisvektoren $\displaystyle f = \sum_i~ \langle f,b_i\rangle / |b_i|^2 \cdot b_i$
weitere Voraussetzungen sind nötig (damit Integrale und Summen existieren), siehe VL Analysis
numerisch: approximiere Integral durch Summe

Beispiel: Rechteck-Schwingung

$\Omega\to\mathbb{R}: t\mapsto \textsf{if~}t<0 \textsf{~then~}-1 \textsf{~else~}\textsf{if~}t = 0 \textsf{~then~}0 \textsf{~else~}1$

das ist die Signum- (Vorzeichen)-Funktion $\operatorname{sign}$
$\displaystyle \operatorname{sign}(x) = (4/\pi) \sum_{k~\text{ungerade}} \frac{\sin(kx)}{k}$

(nur ungerade Oberwellen)

Nebenrechnungen:

$\cos(kx)$ ist gerade Funktion, $\operatorname{sign}(x)$ ungerade,

deswegen $\langle \operatorname{sign}(x),\cos(kx)\rangle=0$
$\langle\operatorname{sign}(x),\sin(kx)\rangle = 2\cdot \int_{[0,\pi]} \sin(kx)dx=[-1/k\cdot \cos(kx)]_0^\pi=$

$\textsf{if~}2|k \textsf{~then~}0 \textsf{~else~}4/k$

Beispiel: Sägezahn-Schwingung

$f: \Omega\to\mathbb{R}: x\mapsto x$

numerische Bestimmung der Fourier-Koeffizienten

let k = 4 ; d = 0.01 
in sum $ map (\x -> d * x * sin (k*x)) 
         [ negate pi, negate pi + d .. pi ] 
==> -1.570723326585521

Vermutung $\displaystyle f = -\frac{2}{\pi} \sum_{k\ge 1} \frac{(-1)^k}{k}\sin(kx)$ ( alle Oberwellen )

Spektren von Audiosignalen

Spektrum eines Signals $f$ kann so bestimmt werden:
teile Signal in Zeit-Intervalle (z.B. $\Delta=1/10$ s),

$f_i : [-\Delta, \Delta] \to \mathbb{R}: t \mapsto f(i\Delta + t)$
wähle Frequenz-Werte $k_1, k_2, \dots$
bestimme Koeffizienten der Freq $k_j$ zur Zeit $i\Delta$ als $\langle f_i,k_j\rangle$
Anzeige z.B. in vlc: Audio $\to$ Visualisations $\to$ Spectrum
es gibt schnellere Algorithmen

(diskrete Fourier-Transformation)
das Ohr bestimmt die Fourier-Koeffizienten durch Resonanz in der Schnecke (Cochlea), Frequenz-Auflösung ist ca. 3 Hz bei 1 kHz

Programme zur Spektral-Analyse

Chris Cannam, Christian Landone, and Mark Sandler: Sonic Visualiser: An Open Source Application for Viewing, Analysing, and Annotating Music Audio Files, in Proceedings of the ACM Multimedia 2010 International Conference.

https://sonicvisualiser.org/
Anwendungsbeispiel:

Aphex Twin, $\Delta M_i^{-1}=-\alpha \Sigma D_i[\eta] Fj_i[\eta-1]+F\text{ext}_i[\eta^-1]$,

Album: Windowlicker, 1999.

hergestellt mit Metasynth (Eric Wenger, Edward Spiegel, 1999) http://www.uisoftware.com/MetaSynth/,

Zeit-Dehnung

wenn man ein Audio-Signal $f:\TT\to\mathbb{R}$ zeitlich dehnt

(Bsp: $g(x)= f(s\cdot x)$ mit $s=1/2$),

dann ändert man damit die Frequenzen.
Zeit-Dehnung ohne Frequenz-Änderung:

$\text{Signal}_1 \stackrel{\text{Spektral-Analyse}}{\longrightarrow} \text{Spektrogramm}_1 \stackrel{\text{Zeit-Dehnung}}{\longrightarrow} \text{Spektrogramm}_2 \stackrel{\text{Spektral-Synthese}}{\longrightarrow} \text{Signal}_2$
Audio-Kompressoren MP3, AAC haben bereits solche Signalkette, mit Kompression (Bitbreiten-Reduktion) statt Zeit-Dehnung, diese kann leicht hinzugefügt werden
Bsp: 7038634357 (Neo Gibson): Barry White Stretched Out And Reworked 2022

https://www.nts.live/shows/guests/episodes/7038634357-19th-october-2022

Spektren von Klängen/Instrumenten

harmonische Schwingung: keine Oberwellen,

kommt in der Natur selten vor und ist für Musikinstrumente auch gar nicht erwünscht:

Oberwellen ergeben interessantere Klänge,

die auch variiert werden können
Bsp: Gitarre: Anschlagen nahe dem Steg: viele Oberwellen, zur Saitenmitte: weniger.
Bsp. Schlagzeug (Trommel, Tom): Anschlag Mitte/Rand
Bsp: Orgel: offene und gedackte Pfeifen, siehe dazu Kalähne 1913 (Hausaufgabe)

Aufgaben

In Autobahn (Kraftwerk) fährt bei ca. 1:49 ein Auto am Hörer vorbei. Wie schnell?

(Hinweis: Frequenzen mit sonic-visualier bestimmen, Doppler-Effekt verwenden)
wie unterscheiden sich Spektren der Luftschwingungen in offenen von einseitig geschlossenen Röhren? nach: Alfred Kalähne: Grundzüge der mathematisch-physikalischen Akustik, Leipzig 1913,

https://archive.org/details/grundzgedermath01kalgoog
Fourier-Koeffizienten einer Rechteck-, Sägezahn-, Dreiecks-Schwingung bestimmen:
- Skalarprodukte symbolisch oder numerisch bestimmen
- Wellenform in WAVE-Datei schreiben und Spektrum analysieren (sonic-visualiser)
Bestimmen Sie für das Signal Rechteck $+$ 2 mal Sägezahn
- die Wellenform
- die Fourier-Koeffzienten (unter Verwendung der im Skript angegebenen Koeffz. der einzelnen Signale)
Software zu diskreter (und schneller) Fourier-Transformation: https://git.imn.htwk-leipzig.de/waldmann/computer-mu/-/tree/master/dft?ref_type=heads

Invertierbarkeit der Transformation ausprobieren.

Vergleichen Sie Klangeindruck bei Rasterung (geringe Bitbreite) für originale Wellenform mit gleicher Rasterung für Fourier-Koeffizienten.

Realisieren Sie ähnliches Experiment (schlechte MP3-Kodierung) durch Wahl einer (geringen) Bitbreite für ffmpeg.
bei verschiedenen Musikalienhändlern kann man Audio-Dateien in verschiedenen Formaten kaufen, u.a. flac (verlustfreie Kompression) und ogg (verlustbehaftet). Ist flac immer besser als ogg? Das kommt darauf an, was der Künstler abgeliefert hat. Wenn man Pech hat, war das ein schlechtes mp3 und der Händler hat alles weitere daraus mit ffmpeg ausgerechnet. An Beispielen überprüfen— und hoffentlich widerlegen! Kurz-Ausschnitte von Test-Dateien im Repo. Schon das Kurz-Schneiden ist nicht trivial, es soll wirklich nur schneiden und nicht neu kodieren.
(evtl.) hörbare Audio-Wasserzeichen? Matt Montag, https://www.mattmontag.com/music/universals-audible-watermark, 2013

Elektrische Oszillatoren und Filter

Plan

bisher: mechanische Schwingungen
- Bsp: Massepunkt/Feder,
- Anwendung: akustische Musikinstrumente
  
  Bsp: Saiten, Membrane, Luftsäulen
jetzt: elektrische Schwingungen (und Filter)
- Bsp: Oszillator (LC), Tiefpaß (RC)
- Anwendungen: diese VL: Filter, nachfolgende:
  - Analog-Synthesizer (Robert Moog 64, Don Buchla 63)
  - Simulation von A.-S. (csound, Barry Vercoe, 1985)
- Ziele: 1. möglichst exakte Nachbildung (des Akustischen, des Analogen), 2. völlig neuartige Klänge

Elektrische Schaltungen

Schaltung: gerichteter Graph,
- Kanten sind Bauelemente
  - ohne Zustand: Widerstände, Verstärker (Transistor)
  - mit Zustand: Kondensator: elektrisches Feld,
    Spule: magnetisches Feld
- durch jede Kante fließt Strom,
  
  jeder Knoten hat Potential
- besondere Knoten: Masse (0), Eingabe, Ausgabe
Zustandsänderung nach Gesetzen der Physik (Elektrik)
vergleiche: Massepunkte, Trägheits-, Federkräfte
Schaltung realisiert Operator $F$ von Eingabesignal $g:\Omega\to\mathbb{R}$ zu Ausgabesignal $F(g):\Omega\to\mathbb{R}$

Schaltung – Beispiel Tiefpaß

Schaltung:

(0,3) node [left]$U_E$ to [short,i=$I$,*-] (1,3) to [R,l=$R$, -*] (4,3) to [C,l=$C$] (4,1) node [ground] (3,3) to [short,-*] (5,3) node [right] $U_A$ ;
Widerstand: $U_E-U_A=R \cdot I$

(siehe auch Kraftwerk: Ohm Sweet Ohm, 1975)
Kondensator: $\displaystyle I = C \cdot \frac{d U_A}{d t} = C\cdot U_A'$
Bsp: $U_E(t) = 1 \text{V}$, $U_A(0)=0$ (Kondensator leer)

$C\cdot U_A' = I = (1-U_A)/R$, Simulation, exakte Lösung
Bsp: $U_E(t)=\sin(2\pi f t)$, $U_A(t)=?$
wirkt als Tiefpaß-Filter: Schwächung hoher Frequenzen

Bemerkung zur Methodik

(analoge) Schaltungstechnik, seit $\ge$ 100 Jahren alles wohlbekannt,
Umformung zur praktischen Berechnung: 1. Analyse harmonischer Schwingungen, 2. Linearkombination.
Harmonische Schwingungen fester Frequenz

sind bestimmt durch Betrag $r$ und Phase $\phi$,

dargestellt als eine komplexe Zahl $z = r \exp(i\phi)\in\mathbb{C}$
verwende Kirchhoffsche Regeln f. komplexe Größen

Bsp: Kondensator mit Kapazität $C$ hat bei Kreisfrequenz $\omega$ den komplexen Widerstand (Impedanz) $1/(i\omega C)$,

Spule mit Induktivität $L$ hat Impedanz $i\omega L$.
funktioniert, solange alle Bauelemente linear sind (Widerstand hängt nur von Frequenz ab)

Weitere Filter: Hochpaß, Bandpaß

(0,3) node [left]$U_E$ to [short,i=$I$,*-] (1,3) to [R,l=$R$, -*] (4,3) to [L,l=$L$] (4,1) node [ground] (3,3) to [short,-*] (5,3) node [right] $U_A$ ;

, Spule: $\displaystyle U_A = L \cdot\frac{d I}{d t}= L \cdot I'$

wirkt als Hochpaß (tiefe Frequenzen werden geschwächt)
(0,3) node [left]$U_E$ to [short,i=$I$,*-] (1,3) to [R,l=$R$, -*] (4,3) to [L,l=$L$] (4,1) node [ground] (4,3) to [short,-*] (6,3) to [C,l=$C$] (6,1) node [ground] (6,3) to [short,-*] (8,3) node [right] $U_A$ ;

, wirkt als Bandpaß

(hohe und tiefe $f$ geschwächt, in der Nähe der Resonanzfrequenz weniger)
Bandpaß mit Rückführung und Verstärkung:

wirkt als Oszillator (schwingt auf Resonanzfrequenz)

Weitere Filter: Allpaß

lattice filter (d: Gitter- oder Leiter-Filter)

(0,4) node [left] to [short,*-] (1,4) to [C,l=$C$] (5,4) to [short,-*] (6,4); (1,4) to [L,l=$L$] (3,2) to [] (5,0); (0,0) node [left] to [short,*-] (1,0) to [C,l=$C$] (5,0) to [short,-*] (6,0); (1,0) to [] (3,2) to [L,l=$L$] (5,4);
vgl. Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing, W3K Publishing, https://ccrma.stanford.edu/~jos/pasp/Allpass_Filters.html
angewendet im Phaser

Klangveränderung durch Filter

ein Filter ist ein Operator von $(\Omega \to \mathbb{R})$ nach $(\Omega\to\mathbb{R})$

(eine Funktion der Zeit auf eine Funktion der Zeit,

d.h., Filter ist Funktion zweiter Ordnung)
Bsp: der Operator $\textsf{scale}_s: g\mapsto (x \mapsto s\cdot g(x))$
Bsp: der Operator $\textsf{shift}_t: g \mapsto (x\mapsto g(x-t))$

akustisch ist das ein Echo. Mehrere Echos ergeben Hall.

Realisierungen:
- Tonband-Schleife
- Federhallstrecke
typisch für: Gitarrenklang in Surf-Musik (Bsp: Dick Dale),
Gesamtklang im (Dub) Reggae (Bsp: Lee Perry)

Klangveränderung durch Filter

Operator $F$ ist linear (L), wenn $\forall a,b\in \mathbb{R}, g,h\in(\Omega\to\mathbb{R}): F(a\cdot g+b\cdot h)=a\cdot F(g) + b\cdot F(h)$
$F$ ist zeit-invariant (TI), wenn $\forall t\in\mathbb{R}: \textsf{shift}_t\circ F = F\circ \textsf{shift}_t$
Satz: jeder LTI-Filter kann als (Limes einer unendl.) Summe von $\textsf{shift}$ und $\textsf{scale}$ dargestellt werden
Satz: jeder lineare Filter operiert auch linear auf den Fourier-Koeffizienten.
Folgerung: Obertöne werden geschwächt oder verstärkt, aber niemals aus dem Nichts erzeugt.

Das begründet den Wunsch nach nichtlinearen Filtern (Verzerrern).

Filter in der Musik-Praxis (Fender Amp)

Lautstärke (Volume): $\textsf{scale}_s$
period. Lautstärkeänderung (Tremolo) (Speed, Intensity)

ist linear, aber nicht zeit-invariant
Federhall (Reverb): $\sum_{d\in D} \textsf{shift}_d$, linear, zeit-invariant
Tiefpaß (Bass), Hochpaß (Treble)

Filter in der Musik-Praxis (Wah)

Dunlop Crybaby GCB95

https://www.electrosmash.com/crybaby-gcb-95
Bandpaß mit einstellbarer Resonanz-Frequenz
Fußwippe (Pedal) $\to$ Zahnstange $\to$ Dreh-Potentiometer
vgl. später: spannungsgesteuerte Filter (VCF)

Filter in der Musik-Praxis (Echo)

Boss Digital Delay (DD 3, ab 1986)
erstes Delay-Fußpedal DD 2, 1983

https://www.hobby-hour.com/electronics/s/dd2-delay.php
Echo-Zeit max. 800 ms. Samplebreite 12 bit. Ü: Taktbreite 12.5 $\mu$s …50 $\mu$s. Wieviel Bit werden gespeichert?
vgl. später: Chorus ($=$ spannungsgest. Delay), Flanger

Chorus, Flanger

Flanger: $f + \textsf{shift}_d(f)$,

ursprünglich realisiert durch zwei Tonbandmaschinen

für $f$, für $\textsf{shift}_d(f)$, dabei $d$ durch Bremsen des Bandes
Chorus: $f\mapsto f+\sum_k\textsf{shift}_{d_k}(f)$ mit $d_k=\epsilon\cdot\sin(\omega_k t)$, kleine $\omega_k$

(mehrere leicht unterschiedliche Stimmen in einem Chor)
bei elektronischer Realisierung:

auch mit Rückführung des Ausgangssignales
Ibanez Swell Flanger

https://mirosol.kapsi.fi/2015/05/ibanez-sf10-swell-flanger/

mit analoger Speicherkette MN3207

https://zeptobars.com/en/read/MN3207-1024-stage-analog-delay-line-CCD

Phaser

Ibanez PH 10 (ca. 1990),

https://mirosol.kapsi.fi/2014/02/ibanez-ph10-bi-mode-phaser/
Phaser: $f\mapsto f + \operatorname{\textsf{Allpass}}^k(f)$, $\operatorname{\textsf{Allpass}}(f)$: erhält Amplituden, verschiebt Phasen (frequenz-abhängig)
R. G. Keen: The technology of Phase Shifters and Flangers 1999,

http://www.geofex.com/Article_Folders/phasers/phase.html

Nichtlineare Filter (Verzerrer)

(Röhren)Verstärker: eigentlich (laut, aber trotzdem) linear
Betrieb außerhalb des linearen Bereiches: technisch möglich und musikalisch interessant (Jimi Hendrix, 1966)
damit auch Bedarf nach extremen und einstellbaren nichtlinearen Bauteilen (Vorverstärker, Verzerrer)
sowie Simulation durch Transistoren (preiswert, robust)

(aber: ist anderes physikalisches Prinzip, klingt anders)

Abb. rechts: Ibanez TS5 Tubescreamer, ca. 1992

Übungsaufgaben

Schaltkreis-Simulation https://git.imn.htwk-leipzig.de/waldmann/circuit,

Bauen Sie einen Allpaß (lattice filter), auch Kette von solchen ($=$ Phaser), betrachten Sie Impulsantwort, verwenden Sie mit effect auf Audio-Datei (siehe unten)
mit Hydrogen und Rakarrack (oder Guitarix) Aspekte des Schlagzeugs (Rhythmus, Sound) nachbauen:

Vivien Goldman (und New Age Steppers): Private Armies Dub (1981)

(Produzent: Adrian Sherwood, vgl. Bugaloo (2003, video)
Phaser: für eine Sägezahnschwingung $f$: bestimmen Sie Auslenkung und Spektrum des Signals $f + \textsf{scale}_{-1}(\textsf{shift}_d (f))$ abhängig von Parameter $d\in[0,\pi]$.
Echo, Hall, Flanger selbst implementieren:

WAVE-Datei lesen, bearbeiten (verzögern und ggf. rückkoppeln), schreiben

anwenden auf: Sinus, Rechteck, Rauschen

siehe https://gitlab.dit.htwk-leipzig.de/johannes.waldmann/effect
voriges mit dieser Implementierung vergleichen (Steve Harris) https://github.com/swh/ladspa/blob/master/phasers_1217.xml (oder andere Open-Source)
Echo, Hall, Flanger mit sox:
- weißes Rauschen erzeugen
```
sox -n noise.wav synth 2 noise
```
- zu zeitversetzem Signal (um 300 Samples) addieren
```
sox -M noise.wav noise.wav out.wav delay 300s 0s remix 1,2
```
- mit sonic-visualizer Spektrum betrachten und erklären

Spannungs-gesteuerte Osz. und Filter

Vorläufer: das Theremin (Lev Termen, 1922)

durch Handbewegung wird Kapazität eines Kondensators in einem HF-Schwingkreis (170 kHz) (!) geändert, dadurch die Frequenz $f_1$ der Schwingung $s_1$
Tonhöhe: $s=\text{Tiefpaß}(\max(0,s_1+s_2))$

für $s_2$ aus zweitem (nicht verstimmten) Schwingkreises,

$s$ enthält (hörbare) Differenz-Frequenz $|f_1-f_2|$
Lautstärke: ähnlich: $s_1'$ durch HF-Bandpaß, $s_2'=0$ erzeugt Steuerspannung für VCA
Hörbeispiel: Captain Beefheart: Electricity, 1967
weitere frühere elektronische Instrumente: siehe 120 Years of Electronic Music http://120years.net/

Spannungsgesteuerte Schaltungen

Steuerung von System-Eigenschaften (z.B. Resonanzfrequenz, Filter-Steilheit) durch
- Ausgabe-Spannung anderer Teilsysteme
- Bedienerschnittstelle (Regler, Klaviatur — ebenfalls als Spannungsquellen realisiert)
$\Rightarrow$ modularer Aufbau eines Synthesizers, Verbindung der Komponenten ($=$ Programmierung) durch Kabel/Stecker
Robert Moog: Voltage Controlled Electronic Music Modules,

J. Audio Engineering Soc. Volume 13 Issue 3 pp. 200-206; July 1965, https://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=1204

Spannungsgesteuerte Komponenten

Verstärker (VCA, voltage controlled amplifier)

eigentlich Multiplizierer: $U_A(t) = U_C(t) \cdot U_E(t)$
Oszillator (VCO), Steuerspannung $\sim$ Frequenz

technische Realisierung: VCA in einer Rückkopplung
Filter (VCF): Steuerspannung $\sim$ Resonanzfrequenz

Bsp: Moog Ladder Filter (1965),

vgl. Tim Stinchcombe:

https://www.timstinchcombe.co.uk/synth/Moog_ladder_tf.pdf
periodische $U_C$ mit kleiner Frequenz erzeugt durch

LFO (low frequency oscillator)

Steuerspannungen aus Benutzeraktionen

einfachste Möglichkeit: Taste drücken/loslassen

Impulslänge je nach Eingabe, Impulshöhe konstant
mehr Ausdruck: Stärke des Tastendrucks bestimmt Impulshöhe (konstant über gesamte Länge)
(Luxus: gewichtete Tastatur, simuliert Trägheit der Klavier-Mechanik)
(Hüll)kurvenparameter für nicht-konstante Impulse:
- Attack (Anstiegszeit auf maximale Höhe)
- Decay (Abfallzeit bei noch gedrückter Taste)
- Sustain (Impulshöhe nach Decay)
- Release (Abfallzeit nach Loslassen der Taste)

Erste Synthesizer in populärer Musik

spannungsgesteuerte modulare Synthesizer produziert ab 1963 (Robert Moog, Don Buchla)

(Bsp: Buchla: In The Beginning Etude II, 1983?)
erste Anwendungen (auf publizierten Aufnahmen)
- für exotische Klänge als Verzierung in Standard-Popmusik (Byrds: Space Odyssey, 1967)
- als Solo-Instrument
  - als Ersatz klassischer Instrumente, für klassische Musik (Wendy Carlos: Switched on Bach, 1968)
    
    https://www.wendycarlos.com/photos.html#studios
  - für neuartige, eigens komponierte Musik (Morton Subotnick: Silver Apples of the Moon, 1967)

Baukastensysteme (alt und neu)

Erfinder/Hersteller: Robert Moog (1964), Don Buchla (1965) Serge Tcherepnin (1968), Peter Zinovieff (EMS Electronic Music Studios 1965), Alan Robert Pearlman (ARP, 1969) Ikutaro Kakihashi (Roland, 1976),
zum Selbstbauen: Elektor Formant Baupläne von C. Chapman, 1976-1978

https://archive.org/details/elektor-1976-12-v-072/

https://www.synthmuseum.com/elektor/eleform01.html
Dieter Doepfer (1995), Eurorack-Standard
Quelle: Kim Bjorn, Chris Meyer: Path and Tweak, 2018

https://bjooks.com/products/patch-tweak-exploring-modular-synthesis

Simulation mit grafischer Programmierung

ALSA modular synthesizer
Komponenten (LFO, VCO, VCF, …) auf Arbeitsfläche,
Verbindung durch Kabel (Ausgangsgrad beliebig, Eingangsgrad 1)
Verbindungen zur Außenwelt (Bsp.)
- In: MCV (MIDI control voltage) Steuerspannung ist Tonhöhe der Taste eines virtuellen Keyboards (z.B. vkeybd) oder externen Keyboards (z.B. USB-MIDI)
  
  qjackctl (Alsa): virtual keybd output — ams input
- Out: PCM; qjackctl: ams out — system in
Spektral-Analyse in Echtzeit: jaaa -J

(jack audio analyser, Fons Adriaensen, 2004–2010)

Übungen

Experimente mit ALSA modular synthesizer (AMS).

Beispiel: File $\to$ Demo $\to$ example_ams_demo_bode.ams

Parameter einzelner Bausteine ändern (Bsp: VCF)

Anschlüsse ändern.

Eine Rückkopplung einfügen (siehe unten feedback loop)

Raten sie die Bedeutung der Einträge im Datei-Inhalt der Synthesizer-Beschreibung.
- Ausprobieren (einzeln) LFO, VCO, VCF (Moog filter), ADSR (Env), MCV (MIDI control value)
- die zeitliche Umkehrung einer ADSR-Kurve ist im allgemeinen nicht ADSR – sondern nur für welche Parameter?
- Nachbilden bestimmter Klänge
  - base drum,
  - snare drum,
  - der Grashüpfer in Biene Maja (deutsche Tonspur der japanischen Verfilmung von 1975)
  - Becken (hihat, crash, ride)
  - Metallophon,
  - Flexaphon (Hörbeispiel: ca. bei 0:55 in Can: Sing Swan Song, 1972)
  - Xylophon,
  - Orgelpfeife, (Pan)Flöte
  - einzelner Wassertropfen, Regen, Wasserfall, Meer
Steuerung durch interne Quelle (LFO) oder externe: (USB-)MIDI-Keyboard, virtuelles MIDI-Keyboard (vkeybd), Sequencer, der MIDI-Signale ausgibt, z.B. http://www.filter24.org/seq24/
zu Video electric/elektor-formant-2022: den aufgenommenen Patch in AMS nachbauen
Schaltpläne nachbauen (Krell patch, drums and percussion, feedback loop)

die Herausforderung ist: kleine Schaltung (wenige, einfache Bauteile) mit überraschendem Klang.

Programme für Klänge

Motivation

elektrische Schaltungen zur Klangerzeugung …

real bauen (Analog-Synthesizer, Moog, Buchla, …)
oder simulieren. Bedienung/Beschreibung
- grafisch (alsa modular synthesizer)
- textuell (durch eine DSL)
  - separate DSL, Bsp: Csound
    
    https://csound.com/, Barry Vercoe 1985
  - eingebettete DSL (in Haskell): csound-expression
    
    Anton Kholomiov
```
hall 0.5 ( usqr 6 * (sqr (400 * usaw 2.1)))
```

Eine eDSL für (Audio-)Signale

eDSL $=$ eingebettete domainspezifische Sprache

benutzt Syntax, Semantik (Typen, Namen), Bibliotheken, Werkzeuge der Gastsprache

anwendungsspezifische Typen und Funktionen

Signal ist Funktion von Zeit ($\mathbb{R}$) nach Amplitude ($\mathbb{R}$)

type R = Double; newtype Signal = S (R -> R)
constant :: R -> Signal; constant c = S $ \t -> c
osc :: R -> Signal; osc f = S $ \t->sin (2*pi*f*t)
plus, times :: Signal -> Signal -> Signal
plus  (S f) (S g) = S $ \ t -> f t + g t

Bsp. times (constant 0.3) (osc 300)
Source:

https://gitlab.dit.htwk-leipzig.de/johannes.waldmann/effect

Nützliche Eigenschaften der Gastsprache

anstatt times (constant 0.3) (osc 300)

schreibe 0.3 * osc 300

instance Num Signal where
  fromInteger i = constant $ fromInteger i
  (+) = plus ; (*) = times
instance Fractional Signal where
  fromRational r = constant $ fromRational r

polymorphe numerische Literale: Compiler ersetzt

0.3 $\Rightarrow$ fromRational 0.3,

300 $\Rightarrow$ fromInteger 300.

Operatoren für Signale (Bsp: shift)

die Wahrheit: $\textsf{shift}_d(g) = (t \mapsto g(t-d))$, Implementierung:
```
shift :: R -> Signal -> Signal
shift d (S g) = S $ \ t -> g (t - d)
```

Erweiterung: Parameter $(d)$ zeitabhängig (ist ein Signal)

shift :: Signal -> Signal -> Signal
shift (S f) (S g) = S $ \ t -> g (t - f t)

Bsp: shift (osc 1) s

Aufgabe: (spannungs) gesteuerter Oszillator, Ansatz
```
osc :: Signal -> Signal
osc (S f) = S $ \ t -> sin (2 * pi * f t * t)
```
Teste osc (300 + 30 * osc 1), diskutiere.

csound-expression

eDSL für Signale, Bsp.

hall 0.5 ( usqr 6 * (sqr (400 * usaw 2.1)))

Signal wird symbolisch repräsentiert

(als abstrakter Syntaxbaum)
zur Ausgaben (rendering):
- wird in Csound-Ausdruck kompiliert,
  
  ansehen mit
  
  ( renderCsd $ hall ...) >>= putStrLn
- dieser wird vom Csound-Backend interpretiert
  
  (berechnet Amplitudenverlauf)
  
  Ausgabe auf Audio-Schnittstelle oder in Datei

CE-Beispiel: Additive Synthese

Fourier-Darstellung der Rechteck-Schwingung

let f = 300 
in sum $ map (\k -> (osc $ k * f) / k ) 
       $ map fromIntegral [1, 3 .. 9]

das funktioniert, weil…
- k und f den Typ Sig haben (nicht Zahl!)
- für Sig die Addition definiert ist (instance Num Sig)
Klang vergleichen mit sqr f, obere Grenze (9) variieren
Übung: desgl. für Sägezahn-Schwingung,

für Summe vieler harmonischer S. mit zufälliger Frequenz

weitere Csound/CE-Beispiele und -Quellen

Wind, Glocke

https://hackage.haskell.org/package/csound-catalog-0.7.2/docs/Csound-Catalog-Wave.html#v:mildWind
Schlagzeuge (Hans Mikelson)

https://hackage.haskell.org/package/csound-catalog-0.7.2/docs/Csound-Catalog-Drum-Hm.html
Anton Kholomiov: Speed up you Csound workflow with Haskell, Csound Journal 23 (2017)

http://csoundjournal.com/issue23/Csound_expression_paper.html
J. W.: Types in Csound-Expression:

https://www.imn.htwk-leipzig.de/~waldmann/etc/untutorial/ce/

Typen für Signale und Filter in Csound

Signale:
- Mono-Signal: Bsp. osc 300 :: Sig
- Stereo-Signal: Bsp. hall 0.5 (osc 300) :: (Sig,Sig) = Sig2
- Aktion (mit Nebenwirkung), die Signal produziert: Bsp white :: SE Sig
Typ-Fehler bei naiver Kombination, Bsp.
- (upw 0.2 4 :: Sig) * (white :: SE Sig)
- (fvdelay 1 0.01 0.9 :: Sig -> Sig) white
(ad-hoc) polymorphe Operatoren
- mul (upw 0.2 4 :: Sig) (white :: SE Sig)
- at (fvdelay 1 0.01 0.9) white

Schnittstellen für Live-Spiel: MIDI

MIDI-Signalquelle
- reelles Keyboard: https://github.com/spell-music/csound-expression/issues/51
- virtuelles Keyboard:
```
vdac $ midi $ \ m -> return $ osc $ sig $ cpsmidi m
```

Signaturen:

midi :: Sigs a => (Msg -> SE a) -> SE a
cpsmidi :: Msg -> D
sig :: D -> Sig
osc :: Sig -> Sig
vdac :: RenderCsd a => a -> IO ()
return :: Monad m => a -> m a

Ring-Modulation

$\textsf{ringmod}(f,g)(t) := f(t)\cdot g(t)$, die Multiplikation der Signale,
```
dac $ (osc 300 + osc 400) * osc 60
```
ist in analoger Hardware aber nicht einfach.
Warum ist der RM so interessant für die Musik?

$2 \sin \alpha\cdot\sin\beta = \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$

$f:$ 2.5 kHz $+$ 4.5 kHz, $g:$ 500 Hz, $\textsf{RM}(f,g)$: 2,3,4,5 kHz
Anwendungen in Populärmusik/Film:
- Mahavishnu Orchestra (John McLaughlin) On the Way home to Earth 1975
- BBC Radiophonic Workshop: die Stimme der Daleks in Dr. Who 1963–

Übungen

csound-expression:
- die Aufgaben für alsa-modular-synthesizer (Maultrommel usw.)
- Tonerzeugung: Beispiele anhören (Repo zur VL, cse/data/) und den Csound- Expression-Ausdruck raten. Benutzt wurden nur: osc, usaw, usqr, white, mul, at, (+), (-), (*), hall, fvdelay
- Erzeugen Sie selbst solche Beispiele! Hochladen und die anderen raten lassen.
- Automatisierung dieses Aufgabentypes (bewerten, generieren): Masterarbeit (abgeschlossen 2022)
- benutzen Sie fvdelay mit veränderlicher Zeitverschiebung.
  
  Vergleichen Sie mit dem shift-Operator aus
  
  https://gitlab.dit.htwk-leipzig.de/johannes.waldmann/effect/Main.hs#L12
- GUI benutzen
  
  https://github.com/spell-music/csound-expression/blob/master/tutorial/chapters/FxFamily.md#ui-stompboxes
- zum Vergleich — Hörbeispiel: Autechre: Perlence (Album: Quaristice, 2008)
zu Autechre:

https://www.factmag.com/2017/02/25/autechre-gear-synths-samplers-drum-machines-effects/

lustige Kritik an Max/MSP:

https://news.ycombinator.com/item?id=22346556

Spektrum eines ring-modulierten Signals betrachten

writeSnd "ring.wav" $ setDur 10 $ sqr 300 * saw (100 * 4 ** osc 0.2)
:! sonic-visualizer ring.wav

Dalek-Stimme nachbauen: Stereo-Signal erzeugen

sox .local/share/SuperCollider/downloaded-quarks/Dirt-Samples/numbers/0.wav  -c2 0.wav

und modulieren:

import Csound.Base; import Csound.Sam
dac $ mul (osc (( usaw 0.5) * 50 )) $ ( loop  $ seg 0 0.7 "0.wav" )

Motivation, Plan

bisher: Geräusche,

Töne (Grundfrequenz, Obertöne, Spektren)
heute: welche Töne klingen gut
- zusammen (in Akkorden),
- nacheinander (in Melodien)?
später:
- Folgen von Akkorden (Kadenzen),
- Führung mehrerer Stimmen (Kontrapunkt)
und Notation dafür (algebraisch, grafisch – Partituren)

Klassische Literatur

Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik, Vieweg, Braunschweig 1863.

https://reader.digitale-sammlungen.de/de/fs1/object/display/bsb10598685_00366.html
(von H.H. zitiert) Leonhard Euler: Tentamen novae theoriae Musicae, Petropoli, 1739.

https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/33/

vgl. Patrice Bailhache: Music translated into Mathematics, https://web.archive.org/web/20050313140417/http://sonic-arts.org/monzo/euler/euler-en.htm
Hugo Riemann: Katechismus der Harmonielehre, Leipzig, 1890

https://archive.org/details/katechismusderh00riemgoog/

Die Naturtonreihe

bei schwingender Saite, schwingender Luftsäule

kommen neben Grundton $f$ ganzzahlige Obertöne vor,

bilden die Naturtonreihe $f, 2f, 3f, 4f, 5f,\dots$
einzelne Obertöne lassen sich durch passende Spielweise betonen (isolieren) (z.B. Flageolett)

Bsp: Canned Heat: On the Road Again, 196?. (Flageolett-Töne im Intro)
die Naturtonreihe bis $15f$ reduziert (durch Halbieren)

1, 9/8, 5/4, 11/8, 3/2, 13/8, 7/4, 15/8, 2

c d e $\approx$ f g $\approx$ a$\flat$ $\approx$ b$\flat$, $\approx$ b c’

11/8: das Alphorn-Fa
wie stimmt man Instrumente mit mehreren Saiten?

Konsonanz

wie stimmt man Instrumente mit mehreren Saiten $f, g,\dots$

$g$ nicht als Oberton von $f$,

sondern wir wollen neue Töne. Welche?
Töne wie z.B. 300 Hz, 315 Hz
- klingen nicht gut zusammen (sondern rauh, dissonant)
- das Ohr nimmt die Schwebung (mit 15 Hz) wahr
Schwebungen zw. 10 Hz und 40 Hz sind unangenehm

(nach Helmholtz: 33 Hz ist am schlimmsten)

konsonante Töne haben keine solchen Schwebungen

(Vermeiden von) Schwebungen

$f,g$ konsonant $:=_\text{def}$ keine Schwebung geringer Frequenz zwischen Obertönen von $f$ und Obertönen von $g$.
$\displaystyle S(f,g) := \min\{ |a\cdot f - b\cdot g| : a,b\in \mathbb{N}, af \neq bg \}$

Bsp: $S(300, 315), S(270, 375), S(270,360) \dots$
Satz: $S(f,g)$ ist der …von $f$ und $g$.

(Begriff und Berechnung bekannt aus 1. Semester)

Konsonanz

$f,g$ konsonant, wenn $\gcd(f,g)$ groß …
- absolut: $\gcd(f,g)> 40 \text{Hz}$
- relativ: $\gcd(f,g)/\max (f,g)\to \text{groß}$
Hör-Eindruck: $(80,120)$ gegenüber $(480,520)$

spricht für die relative Definition.
Def: $R(f,g) := \gcd(f,g)/\max(f,g)$

hier $\gcd(f,g)$ auch für $f,g\in \QQ$ definiert als $\min_{a,b}\{af - bg\}$
Aufg: Bestimme $1=f_0<f_1\ldots <f_k=2$

mit $W(f)=\min \{R(f_i,f_j)\mid 0\le i<j\le k\}$ maximal

Bsp: $k=3$. Für $1, 4/3, 5/3, 2$ ist $W(f)=\dots$, geht besser?

Die Töne nach Pythagoras

nach Pythagoras (ca. 500 v.Chr.)
konstruiere Tonmenge
- beginne mit $f_0=1$ (Grundfrequenz)
- multipliziere mit 3/2
  
  (die einfachste nichtriviale Harmonie)
- falls $\ge 2$ : multipliziere mit 1/2 (die triviale Harmonie)
$\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} f_0=1,& f_1=\frac{3}{2},& \frac{9}{4} \to \frac{9}{8},& \frac{27}{16},& \frac{81}{32}\to \frac{81}{64},& \frac{243}{128},&\frac{729}{256} \to \frac{729}{512},&\dots \\ \end{array}$
alle Werte sind paarweise verschieden
endliche Tonmengen bis zu Werten nahe bei 1 (bzw. 2)
- $f_5=243/128\approx 2\cdot 0.95$, pentatonische Skala: $f_0,\dots, f_4$
- $f_7=2187/2048\approx 1.07$, diatonische Skala: $f_0,\dots, f_6$
- $f_{12}=3^{12}/2^{19} \approx 1.01$, chromatische Skala: $f_0,\dots, f_{11}$

Herleitung der Pentatonik

$\displaystyle \begin{array}{cccccccccc} f_0&f_1&f_2&f_3&f_4&f_5& f_6 & f_7 \\ 1,& \frac{3}{2},& \frac{9}{4} \to \frac{9}{8},& \frac{27}{16},& \frac{81}{32}\to \frac{81}{64},& \frac{243}{128},&\frac{729}{256} \to \frac{729}{512}, & \frac{2187}{1024}\to \frac{2187}{2048} \\ 1 & 1.5 & 1.12 & 1.69 & 1.27 & 1.90 & 1.42 & 1.07 \end{array}$
pentatonische Skala: $f_0,\dots,f_4$,

nach Frequenzen geordnet: $f_0<f_2<f_4<f_1<f_3(< 2f_0)$
Abstände (Verhältnisse) benachbarter Töne:

$f_2/f_0=f_4/f_2=f_3/f_1=9/8 =1.125$, $f_1/f_4= f_0/f_3 = 32/27 \approx 1.185$
Bsp: The Monochrome Set: Iceman, 2015.

Intro verwendet Töne $\{d,e,f\sharp,a, b\}$,

das ist Pentatonik mit Grundton $d$.

Herleitung der Diatonik

$\displaystyle \begin{array}{cccccccccc} f_0&f_1&f_2&f_3&f_4&f_5& f_6 & f_7 \\ 1,& \frac{3}{2},& \frac{9}{4} \to \frac{9}{8},& \frac{27}{16},& \frac{81}{32}\to \frac{81}{64},& \frac{243}{128},&\frac{729}{256} \to \frac{729}{512}, & \frac{2187}{1024}\to \frac{2187}{2048} \\ 1 & 1.5 & 1.12 & 1.69 & 1.27 & 1.90 & 1.42 & 1.07 \end{array}$
diatonische Skala: $f_0,\dots,f_4,\underline{f_5},\underline{f_6}$,

geordnet: $f_0<f_2<f_4<\underline{f_6} <f_1<f_3<\underline{f_5}(< 2f_0)$
Abstände (Verhältnisse) benachbarter Töne:

$f_2/f_0=\dots=9/8=1.125$, $f_1/f_6= 2f_0/f_5=2^8/3^5 \approx 1.05$.
Anwendung: weiße Tasten (ganze Töne) auf dem Klavier

$f_0=F, f_2=G, f_4=A, f_6=B, f_1=C, f_3=D, f_5=E$
Benennung: alphabetisch, im Deutschen: $H$ statt $B$

siehe auch https://krebszuchtaufamrum.bandcamp.com/track/es-ist-ein-b-du-arsch

Herleitung der Chromatik

$f_0=1, f_1=3/2, f_2=9/8,\dots, f_{12}/f_0=3^{12}/2^{19}\approx 1.01$
chromatische Skala: $f_0,\dots, f_{11}$, geordnet:

${f_0} <\underline{f_7} <{f_2} <\underline{f_9} <{f_4} <\underline{f_{11}} <{f_6} <{f_1} <\underline{f_8} <{f_3} <\underline{f_{10}} <{f_5}$

unterstrichen sind die neuen (nicht diatonischen) Töne

$\approx$ die schwarzen Tasten (Halbtöne) auf dem Klavier
Bezeichnungen: nach den ganzen Tönen,

$f_1=C, f_8=C{\sharp}=\text{Cis}, f_3=D$
Abstände sind $f_7/f_0=f_9/f_2=\dots=3^7/2^{11}\approx 1.07$, $f_2/f_7=f_4/f_9=\dots=2^8/3^5\approx 1.05$

d.h., in dieser Stimmung gibt es zwei verschiedene Halbton-Abstände

Eigenschaften, weitere Stimmungen

die pythagoreische Reihe:
- schließt nicht $1\neq 3^{12}/2^{19}$ (pythagoreisches Komma)
- Konsonanzen aus der Naturtonreihe fehlen, z.B. 4:5:6.
  
  angenähert durch $c:e:g =f_1:f_5:f_2=1:\frac{81}{64}:\frac{3}{2}$
  
  der Fehler $\frac{81}{64}/\frac{5}{4}$ ist das diatonische Komma
- unterschiedlich große Halbtöne $\Rightarrow$ Transposition (Verschiebung) ändert Frequenz-Verhältnisse
reine Stimmung: 4:5:6 für spezielle Akkorde:

Tonika c,e,g, Subdominante f,a,c, Dominante g,b,d.
gleichtemperierte S.: pythagoreisches K. wird geschlossen: jeder Halbton ist $2^{1/12}\approx 1.06$, dann $g:c = 2^{7/12}\approx 1.4983\neq 3/2$, invariant unter Transposition

Die diatonische Skala

T: Ganzton, S: Halbton: $c \stackrel{T}{-} d \stackrel{T}{-} e \stackrel{S}{-} f \stackrel{T}{-} g \stackrel{T}{-} a \stackrel{T}{-} b \stackrel{S}{-} c'$
hiervon sind die Intervallbezeichnungen abgeleitet:

Sekunde, Terz, Quarte, Quinte, Sexte, Septime, Oktave.
es gibt zwei Terzen:

große Terz ($2T=4S$) $c-e$, kleine Terz ($T+S=3S$): $e-g$

zwei Septimen: kleine ($10S$) $d-c'$, große ($11S$): $c-b$
der Modus beschreibt eine zyklische Verschiebung:
- ionisch (Dur): $c,d,\dots$,
- äolisch (Moll): $a, b,\dots$.

Akkorde (Dreiklänge)

Grundformen (konsonant):
- Dur (große Terz, kleine Terz) $C = \{c, e, g\}$
  
  in C-Dur-Skala enthalten: $C, F, G$
- Moll (kleine Terz, große Terz) $C^- =\{c, e\flat, g\}$
  
  in C-Dur-Skala enthalten: $D^-, E^-, A^-$
Modifikationen (dissonant):
- vermindert: (kleine, kleine) $C^0 = \{c, e\flat, g\flat\}$
  
  in C-Dur-Skala enthalten: $B^0$
- vergrößert: (große, große) $C^+ = \{c, e, g\sharp\}$
  
  nicht in C-Dur-Skala enthalten.

Akkorde (Vierklänge)

konsonanter Dreiklang plus Septime (kleine oder große)
Bsp: $C^7=\{c,e,g,b\flat\}, C^\text{maj7}=\{c,e,g,b\}$
skalen-eigene Vierklänge:

$C^\text{maj7}=\{c,e,g,b\},D^{-7}=\{d,f,a,c\},$ $E^{-7},F^\text{maj7}, G^{7},A^{-7},B^{-7 (\flat 5)}$
simple Realisierung in electribe 2:
- Dur-Skala, 4 Noten pro Akkord (Grundton, $+2, +4, +6$),
  
  da kann überhaupt nichts schief gehen, …
- auch bei frei improvisierter Melodie nicht
  
  (XY-Pad: X ist Tonhöhe (aus Skala), Y ist Arpeggio)
- das klingt aber doch beliebig,
  
  woher kommt die musikalische Spannung?

Aufgaben

bestimmen Sie die Frequenzverhältnisse für C-Dur, d-Moll und e-Moll in der C-Dur-Skala bei Stimmung
- diatonisch
- rein
- gleich temperiert
und vergleiche Sie akustisch (csound-expression)
Konstruktion der chromatischen Töne nach Paul Hindemith (Unterweisung im Tonsatz, 1937):
1. zu jedem Ton aus der Obertonreihe des Grundtons (c) werden mögliche Grundtöne bestimmt. Bsp: $5\cdot c = 4\cdot ?$.
  
  Dabei Multiplikation mit $1 \dots 6$, Division durch $1,(2), 3, (4), 5$, mit Identifikation von Oktaven.
  
  Welche Töne entstehen aus c?
2. Dieser Vorgang wird für jeden der entstandenen Töne wiederholt.
  
  Welche neuen Töne enstehen? Sind die Abstände gleichmäßig (oder fehlen noch Töne)? Vergleich mit pythagoreischer Skala.
was hat H. Helmholtz auf S. 291f. gerechnet/gezeichnet? Rekonstruieren Sie die einfachste mathematische Formel, erzeugen Sie daraus die Diagramme, vergleichen Sie mit denen im Buch
was hat L. Euler gerechnet? (Helmholtz S. 349, Fußnote) Überführen Sie die dort zitierte rekursive Definition der Stufenzahl in eine explizite Formel.

Bestimmen Sie die Stufenzahl der Akkorde aus der 1. Aufgabe.

Wo steht die Definition im Originaltext von Euler?
Welches sind (nach 5, 7, 12) die nächsten interessanten Längen von pythagoreischen Tonfolgen?

Betrachten Sie dazu die Verhältnisse benachbarter Töne (Pentatonik: 32/27 und 9/8, Diatonik: 9/8 und $2^8/3^5$, Chromatik: $2^8/3^5$ und $3^7/2^{11}$). Wann verschwindet (durch hinzukommende Zwischentöne) das größere der beiden chromatischen Verhältnisse? Welche anderen Verhältnisse gibt es dann? Wie geht das weiter?

Gibt es solche Skalen in der (historischen) Musikpraxis? (Aktuell vgl. https://oddsound.com/usingmtsesp.php, Oddsound und Richard D. James ($=$ Aphex Twin), 2021)
mit alsa-modular-synthesizer (Module: CV: Random, Quantizer — werden auch in einigen Demos verwendet) oder csound-expression
- Akkorde (Dreiklänge, Vierklänge) erzeugen.
- Akkorde aus einer Skala zufällig aneinanderreihen,
- dazu eine zufällige Melodie aus dieser Skala
Spezifikation von Tonfolgen in CSE vgl.
```
notes = fmap temp $ fmap (220 * ) [1, 5/4, 3/2, 2]
q = mel [mel notes, har notes]
dac $ mix $ sco oscInstr q
```
https://github.com/spell-music/csound-expression/blob/master/tutorial/chapters/ScoresTutorial.md#functions-for-sequential-and-parallel-composition
randomh a b f: zufälliges Treppensignal (sample-and-hold) in $[a \dots b]$ mit Period $f$

int', frac': ganzer/gebrochener Anteil eines Signals

Naturtonreihe (aufsteigend): osc $ mul 100 $ int' $ mul 12 $ 1 - usaw 1

Naturtonreihe (zufällig): fmap osc $ mul 100 $ fmap int' $ randomh 1 12 8

oktavieren (halbieren) bis in die erste Oktave: oct = (2 **) . frac' . logBase 2

Pentatonik (pythagoreisch) (zufällig): fmap (tri . (200 *) . oct . (3**) . int') $ randomh 0 5 8

die Parameter abstrahieren: h o b k f = fmap (o . (b *) . oct . (3**) . int') $ randomh 0 k f

mehrere solche Signale addieren: h tri 200 5 (1/13) + h osc 100 5 (1/11) + h osc 50 3 (1/17)

und verarbeiten: dac $ mul 0.2 $ cave 0.5 $ fmap (tort 0.1 0.2) $ ...
zur Stimmung der Gitarre:
- man kann die unteren (tiefen) Saiten so stimmen: Saite mit Flagoelett bei 1/4 $=$ nächst-höhere Saite mit Flageolett bei 1/3.
  
  Welches Intervall ist das? Wenn man bei tiefem E beginnt und alle Saitenpaaare so stimmt, welcher Ton ist dann auf der 6. (höchsten) Saite?
  
  Das Intervall zwischen 4. und 5. Saite wird bei üblicher Stimmung um einen halben Ton verringert.
- Es werden gern auch abweichende Stimmungen verwendet, vgl.
  
  http://www.sonicyouth.com/mustang/tab/tunings.html
  
  Warum?
  
  Bsp: Sonic Youth: Hyperstation, Album: Daydream Nation (1988) — Das Bild auf der Hülle ist
  
  https://www.gerhard-richter.com/en/art/paintings/photo-paintings/candles-6/candle-5195/
- Stimmungen für Hawaii-Gitarre: John Ely (2008)
  
  http://www.hawaiiansteel.com/tunings/my_tunings.php
  
  Bei C6th und A6th: welche benachbarten Saiten ergeben Dur- und Moll-Dreiklänge?
  
  Rechnen Sie die Frequenzen für die angegebenen Verstimmungen nach (z.B. C6th: G plus 6 cent). Welche Frequenzverhältnisse werden dadurch für die Akkorde erreicht?
Bestimmen Sie die Abweichung des Alphorn-Fa vom nächsten chromatischen Ton in Cent.

Algebraische Komposition

Einleitung

klassisch: Musikstück repräsentiert durch Partitur,
- Ton repräsentiert d. Note, bezeichnet Tonhöhe, -dauer
- Tempo, Klangfarbe, Lautstärke
  - durch weiter Annotationen spezifiziert
  - oder nicht, d.h., dem Interpreten überlassen
- Komposition:
  - Noten nebeneinander bedeutet Töne nacheinander
  - Noten (Zeilen) übereinander: Töne (Stimmen) gleichzeitig
jetzt: Musikstück repräsent. d. (abstrakten Syntax-)Baum

Literatur, Software

Paul Hudak , Tom Makucevich , Syam Gadde , Bo Whong: Haskore Music Notation - An Algebra of Music, JFP 1995,

https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.36.8687

Partitur wird kompiliert zu MIDI-Strom, der von Hard- oder Software-Synthesizer interpretiert wird

Donya Quick et al.: https://euterpea.com/
Anton Kholomiov: Csound-Expression Tutorial – Scores,

https://github.com/spell-music/csound-expression/blob/master/tutorial/chapters/ScoresTutorial.md

Partitur wird durch Csound-Instrumente interpretiert,
P. kann Csound-spezifische Elemente enthalten

Partituren als Abstrakte Syntaxbäume

data Music a
  = Prim (Primitive a)       
  | (Music a) :+: (Music a)   -- sequentielle K.
  | (Music a) :=: (Music a)   -- parallele K.
  | Modify Control (Music a) 
data Primitive a = Note Dur a | Rest Dur
data Control = Tempo Rational
  | Transpose AbsPitch
  | Instrument InstrumentName | ...

Beispiele

Prim (Note 1 60) :: Music AbsPitch
Prim (Note 1 (C,4)) :: Music Pitch
Modify (Transpose 4) 
   (Prim (Note 1 (C,4)) :=: Prim (Note 1 (G,4)))

Konstruktion von Partituren

tr = transpose
minor x = chord [x, tr 3 x, tr 7 x]
bass x = tr (-12) $ line 
  [ scaleDurations (1/2) x, tr 7 x, tr (-5) x ]
pat x = chord 
  [ instrument AcousticGrandPiano
    $ line [ Rest qn, minor x, Rest qn, minor x ]
  , instrument AcousticBass $ bass x ]
theme = line $ map (\x -> pat $ x 2 qn) [ a,e,d,a ]

benutzerdefinierte Namen (tr), Funktionen (minor), Standard-Funktionen (map)

beschreibt diesen AST:

(Modify (Instrument AcousticGrandPiano) (Prim (Rest (1 % 4)) :+: ((Prim (Note 
(1 % 4) (A,2)) :=: (Modify (Transpose 3) (Prim (Note (1 % 4) (A,2))) :=: (Modify 
(Transpose 7) (Prim (Note (1 % 4) (A,2))) :=: Prim (Rest (0 % 1))))) :+: (Prim 
(Rest (1 % 4)) :+: ((Prim (Note (1 % 4) (A,2)) :=: (Modify (Transpose 3) (Prim 
(Note (1 % 4) (A,2))) :=: (Modify (Transpose 7) (Prim (Note (1 % 4) (A,2))) ...

Von Partitur zu Interpretation

data MEvent = MEvent
  {  eTime    :: PTime, -- onset time
     eInst    :: InstrumentName, -- instrument
     ePitch   :: AbsPitch, -- pitch number
     eDur     :: DurT, -- note duration
     eVol     :: Volume, -- volume
     eParams  :: [Double] } -- optional other parameters 
type Performance = [ MEvent ] -- aufsteigende onsets

musicToMEvents 
  ::  MContext -> Music1 -> (Performance, DurT)
musicToMEvents 
      c@MContext{mcTime=t, mcDur=dt} (m1 :+: m2) = 
 let (evs1,d1) = musicToMEvents c m1
     (evs2,d2) = musicToMEvents c{mcTime = t+d1} m2
 in  (evs1 ++ evs2, d1+d2)

Partitur und Interpretation

die Konstruktoren der Partitur definieren die Signatur $\Sigma$ einer Algebra
die Partituren sind Terme über dieser Signatur
Performances bilden die Trägermenge $D$ einer $\Sigma$-Algebra
die Aufführung (perform :: Music a -> Performance) ist die Interpretation von Term nach Algebra:

dabei wird jedes Symbol aus $\Sigma$ durch eine Funktion über $D$ ersetzt, Bsp:
- :+: durch ++ (Verkettung),
- :=: durch merge (Zusammenfügen)

Eigenschaften der Operationen

für die zweistelligen Kompositionen

seq2, par2 :: Score -> Score -> Score
seq2 = (:+:), par2 = (:=:)

seq2 ist semantisch assoziativ: für alle $p,x,y,z$
```
perform p (seq2 (seq2 x y) z) 
  = perform p (seq2 x (seq2 y z))
```
neutrales Element? kommutativ? Desgl. für par2
gelten Distributiv-Gesetze? (Nein).
Ü: wann sind par2 (seq2 a b) (seq2 c d) und seq2 (par2 a c) (par2 b d) semantisch gleich?

Historische Formen der Mehrstimmigkeit

Cantus Firmus (feststehende Melodie, die anderen Stimmen sind Verzierung)
Kontrapunkt (Note gegen Note): Vorschriften zur Konstruktion der Begleit-Stimmen, u.a.
- Konsonanzen zu bestimmten (schweren) Zeitpunkten
- keine Parallelen (gleichmäßiges Auf- oder Absteigen)
Fuge (Flucht, die Stimmen fliehen voreinander) alle Stimmen sind aus einem Thema konstruiert durch
- zeitlichen Versatz (Kanon), zeitliche Spiegelung
- Versatz der Tonhöhe, Skalierung des Tempos, …
Kadenzen (Akkordfolgen) mit untergeordneten Stimmen

Kanon

eine Stimme wird mehrfach zeitlich versetzt
Beispiel: Karl Gottlieb Hering (1766-1853): C A F F E E

X: 1 K: F M: 3/4 "1."c2 A2 F2 | F2 E2 E2 | E2 G2 E2 | F E F G F2 | w:C A F F E E trink nicht so viel* Caf* fe "2."A A c c A A | B A B c B2 | G G B B G G | A G A B A2 | w:nicht für Kin-der ist der Tür* ken* trank L: 1/4 "3."F F F | G G G | C C c | c C F | w:sei doch kein Mu-sel-man der das nicht las-sen kann
Übung: 1. Harmonien bestimmen, 2. programmieren

Fuge

eine anspruchsvolle Form des Kontrapunktes. alle Stimmen sind aus einem Thema konstruiert durch
- zeitlichen Versatz (wie im Kanon)
- Versatz der Tonhöhe
- zeitliche Spiegelung
- Tonhöhen-Spiegelung
- Skalierung des Tempos
Johann Sebastian Bach (1685–1750): Die Kunst der Fuge, Contrapunctus XV - Canon per Augmentationem in Contrario Motu, (Solist: Pierre-Laurent Aimard, 2008)

https://www.mutopiaproject.org/ftp/BachJS/BWV1080/contrapunctusXV/
Ü: Operatoren in Partitur erkennen, implementieren

Akkorde (Ton-Inhalt)

Grundformen: Dur und Moll

tr = transpose
major x = chord [ x, tr 4 x, tr 7 x ]
minor x = chord [ x, tr 3 x, tr 7 x ]

mit Septime (kleiner, großer)

major7 x = chord [ x, tr 4 x, tr 7 x, tr 10 x ]
major7maj x = chord [ x, tr 4 x, tr 7 x, tr 11 x ]

weitere Varianten durch Umstellen (anderer Grundton); Hinzufügen, Ändern, Weglassen von Tönen

Die Kadenz

lateinisch cadere $=$ fallen

die Voll-Kadenz (Quinten abwärts) in C-Dur:

3kl.	$C$	$F$	$B^0$	$E^-$	$A^-$	$D^-$	$G$	$C$
4kl.	$C^{\maj7}$	$F^{\maj7}$	$B^{-7(\flat 5)}$	$E^{-7}$	$A^{-7}$	$D^{-7}$	$G^{7}$	$C^7$
Ton	I	IV	VII	III	VI	II	V	I
	T	S		Dp	Tp	Sp	D	T

verkürze, ersetze $B^0=\{b,d,f(,a)\}$ durch $G=\{g,b,d(,f)\}$,

ergibt die Kadenz: $C,F,G,C = T, S, D, T$
Tonika (1,3,5), Dominante (5,7,9),Subdominante (4,6,8),
Dur: $T= (c,e,g)$, $S=(f,a,c)$, $D=(g,b,d)$,
Moll: $t=(c,e\flat,g)$, $s=(f,a\flat,c)$, $d=(g,b\flat,d)$

Diatonik in Euterpea

Euterpea verwendet chromatische Tonleiter (wg. MIDI)

anderen Skalen dorthin umrechnen, z.B.

dia x = 
  let scale = [0,2,4,5,7,9,11]
      (d,m) = divMod x (length scale)
  in note qn $ 60 + d*12 + scale !! m

dann Tetrachord (vgl. Electribe Chord-Modus)
```
tetra x = chord $ map dia [x,x+2,x+4,x+6]
```

Funktions-Harmonik

Betrachtung der Akkorde nach ihrer (vermuteten, häufigen) Funktion in musikalischer Phrase.

nach Hugo Riemann (1849–1919):

T These, S Antithese, D Synthese.
in einer Kadenz können Akkorde durch Parallelen vertreten werden
die Parallelen (mit gleicher großer Terz)

$Tp = (-1,1,3) = (a,c,e)$, $tP = (3,5,7) = (e\flat,g,b\flat)$,

entsprechend $Dp, dP, Sp, sP$
The Beatles: Penny Lane: T, Tp, Sp, D (C, Am, Dm, G)
harmonische Analyse einer Stelle aus Bach: BWV 268

Vermischte Dokumente zur Harmonielehre

Über Hugo Riemann, von dessen Sohn Robert: http://www.hugo-riemann.de/
Kritik an Riemann durch Heinrich Schenker (1868–1935) https://web.archive.org/web/20120403032916/http://www.schenkerdocumentsonline.org:80/profiles/person/entity-000712.html
Kritik an einer Kritik an Schenkers Theorie der Urlinie https://web.archive.org/web/20160731145955/http://schenkerdocumentsonline.org/documents/other/OJ-21-24_1.html

Kadenzen in der Popmusik

Kadenz T S (T) D T
Beispiele: tausende, u.a. Beach Boys: Little Honda, 1964 (Version von Yo La Tengo, 1997)

Strophe: $D D D D | G G D D | A A D A$
The Jesus and Mary Chain: Upside Down, 1984 (auf Creation Records). Strophe: $4\cdot (G G G C) ~ 4\cdot C ~ 4\cdot G$
Beatles: Tomorrow Never Knows, 1966.
Lou Reed: One chord is fine. Two chords is pushing it. Three chords and you’re into jazz.
Thelonius Monk: Round Midnight, 1944

Übungen

zu Folie Partitur und Interpretation:
1. Warum schwach monoton, nicht stark?
2. Welche Rechnung muß im Zweig Par2 x y -> stattfinden? Wie werden die Teilresultate verknüpft?
3. Welches ist der abstrakte Datentyp für [Event] (welche Operationen gehören zur API)? Welche effiziente Implementierungen dafür kennen Sie?
Fragen von Folie Eigenschaften der Operationen
zu Bach: Contrapunktus XV (canon per augmentationem in contrariu motu)
1. Bestimmen Sie die globale zeitliche Struktur der Komposition.
  
  Der 1.Takt der 1. Stimme erscheint (gedehnt und gespiegelt) in Takt 5 und 6 der 2. Stimme. Wo noch?
  
  Was zeigt der Trennstrich nach Takt 52 an?
2. Bestimmen Sie die Tonhöhen-Abbildung (Spiegelung) von erster zu zweiter Stimme.
  
  Lesehilfe: Der Violin-Schlüssel bezeichnet das G (der Kringel, zweite Notenlinie von unten), der Baß-Schlüssel bezeichnet das F (der Doppelpunkt, zweite Notenlinie von oben)
Programmieren Sie das Thema von Jean-Michel Jarre: Oxygen Pt. 2 als eine Verschmelzung von zwei einfachen Melodien
Programmieren Sie den CAFFEE-Kanon (3 Stimmen, jede mit eigenem Instrument).
1. Ergänzen Sie https://gitlab.imn.htwk-leipzig.de/waldmann/cm-ws18/blob/master/kw47/Caffee.hs
  
  Beschreibung der Bibliotheks-Funktionen: https://github.com/spell-music/csound-expression/blob/master/tutorial/chapters/ScoresTutorial.md
  
  oder in Euterpea
2. Benutzen Sie eine Darstellung (d.h., Unterprogramme), die die lokale Strukur ausnutzt, z.B.: zweite Häfte der 2. Zeile ist Transposition der ersten Hälfte.
  
  Wir verschieben nicht chromatisch (2 Halbtöne), sondern diatonisch (1 Ton in der F-Dur-Skala).
Realisieren Sie auf ähnliche Weise eine Voll-Kadenz
1. effizient programmieren unter Benutzung der Skalen-Numerierung
2. eine dazu passende Melodie programmieren
  
  Hinweis: jede Melodie (aus Skalentönen) paßt
verschiedene Software-Synthesizer ausprobieren zum Abspielen von mit Euterpea erzeugten MIDI-Strömen:
- (in der VL gezeigt) fluidsynth/qsynth
```
fluidsynth -s -a jack -j -r 48000
```
- Alsa Modular Synthesizer (Verwenden Sie Demos, die das MIDI-Input-Element MCV enthalten)
- Csound-Expression
```
dacBy ( def {csdFlags = def { rtmidi = Just AlsaSeq  }} )
  $ midi $ \ m -> return  $ osc $ sig $ cpsmidi m
```
  https://github.com/spell-music/csound-expression/issues/51#issuecomment-437162344

Euterpea: von Partitur zu MIDI und zurück

song = line ...
writeMidi "foo.midi" song
Right m <- importFile "foo.midi" 
song' = fromMidi m

Dann song und song' vergleichen

Performing with Patterns of Time

Überblick

Quelle: Thor Magnusson und Alex McLean: P.w.P.o.T, Kap. 14 in: Oxford Handbook of Algorithmic Music, OUP 2018, https://slab.org/publications/

Software: https://tidalcycles.org/
algebraische Beschreibung von periodischen Verläufen (Parameter für Klänge), eingebettete (in Haskell) DSL
Back-end: https://supercollider.github.io/ James McCartney, 1996–
Tidal benutzt SC zum Abspielen von Samples
Tidal ist System für live-coding (durch ghci-Kommandos)

Tidal - Beispiel

Sound-Server (supercollider) starten
```
sclang dirt_startup.scd
```
Ghci starten
```
ghci 
:script BootTidal.hs
```

Klänge ausgeben

d1 $ s "bd [sn sn]"
d2 $ s "[jvbass*2]*2" |*| n "0 1 2 3 4"
hush

Grundlagen Tidal (Modell)

ein Muster m :: Pattern a beschreibt eine periodische Abbildung von Zeit nach a
elementares Muster: pure x mit Periode 1
c :: ControlMap Parameter zum Sample-Abspielen

s: Verzeichnis, n: Datei-Nummer, begin, end, speed …
Funktionen zum Abspielen:

d1, d2, ... :: Pattern ControlMap -> IO ()

let p = pure $ M.fromList [("s", VS "bd")]
d1 p
queryArc p (Arc 0 3)
  [(0>1)|s: "bd",(1>2)|s: "bd",(2>3)|s: "bd"]

Transformation von Mustern

Bsp. verwenden p = run 3, mit queryArc p (Arc 0 1)
```
  ==> [(0>1/3)|0, (1/3>2/3)|1, (2/3>1)|2]
```

Transformation der Werte fmap (\ x -> x+1) p

  ==> [(0>1/3)|1, (1/3>2/3)|2, (2/3>1)|3]

zeitliche Verschiebung (1/3) <~ run 3

  ==> [(0>1/3)|1, (1/3>2/3)|2, (2/3>1)|0]

zeitliche Streckung slow 2 p

[(0>2/3)|0, (2/3>1)-4/3|1, 2/3-(1>4/3)|1, (4/3>2)|2]

Parallele Komposition

parallele Komposition (Vereinigung der Ereignismengen) stack :: [Pattern a] -> Pattern a
```
fast 3 $ stack [ slow 2 (s "sn"), slow 3 (s "bd") ]
```
parallele Komposition mit Kombination der Werte
```
(<*>) :: Pattern (a -> b) -> Pattern a -> Pattern b
```
Struktur von: beiden Seiten (<*>), links (<*), rechts (*>)
- p |+| q = (pure (+) <*> p) <*> q
- (#) $=$ (|>) $=$ Struktur von links, Werte von rechts
  
  vgl. p # gain 0.7 # gain 0.3 mit p # gain 0.7 |* gain 0.3

Sequentielle Komposition? (Verschränkung)

Nicht wie in z.B. :+: in Euterpea,

weil ein Tidal-Muster kein Ende hat!
Verschränkung von Mustern: cat :: [Pattern a] -> Pattern a

für $p = \texttt{cat}[p_0,..,p_{k-1}]$ bedeutet $p[0\dots 1]=p_0[0\dots 1], p[1\dots 2]=p_1[0\dots 1], p[2\dots 3]=p_2[0\dots 1], p[3\dots 4]=p_0[1\dots 2],p[4\dots 5]=p_1[1\dots 2],\dots$
Denkmodell: jedes Muster ist Tonbandmaschine (Spur), bei $\texttt{cat}[p_0,..,p_{k-1}]$ spielt der Reihe nach jede Maschine $p_i$ für 1 Einheit

Die Muster-DSL von Tidal

zusätzlich zur bisher beschriebenen eDSL:

konkrete Syntax für Operationen, Transformationen:

Bsp: "[[bd sn?]*2, [hc?*2 ho]*4]"
- Hintereinander: in <>: cat, in []: fastcat,
- Komma in (beiden) Klammern: stack (außen)
- x*3 bedeutet: fast 3 x, x/2 bedeutet: slow 2 x
- x?: degrade x (einige Ereignisse weglassen)
s $ fromString "[bd sn]" ist äquivalent zu

s $ fastcat [ pure "bd", pure "sn" ]

mit :set -XOverloadedStrings : s "[bd sn]"
damit kürzere Notation, aber Vorteile der eDSL (statische Typisierung, Funktionen, HO) werden aufgegeben

Audio-Effekte in Tidal

Ausdrucksmittel sind hier (z.B. ggü. csound-expression) absichtlich beschränkt, Schwerpunkt von Tidal ist die Kombination von (zeitlichen) Mustern, nicht von Effekten

ein globaler Effekt-Weg, Parameter in ControlMap

d1 $ sound "sn" 
  # delay 0.7 # delaytime (2/3) # delayfeedback 0.7
  # room 0.7  # size 0.9
  # cutoff 400 # resonance 0.7

Parameter sind auch Muster, z.B., size "0.5 0.9"
durch orbit <string> unabhängige Effektstrecken
```
stack [ .. # orbit "0", .. # orbit "1" ]
```
(seit 1.7): control bus: ändert Parameter für aktive Effekte

Live Coding

der eigentliche Erfindungsgrund und Anwendungsfall von Tidalcycles ist live coding: sichtbare Arbeit am Quelltext (wird projiziert) während der Aufführung
ghci sendet Ereignisse an Backend (supercollider), falls Eingabe typkorrekt. falls nicht: bleibt bisheriges Muster.
from scratch live coding: Editor ist anfangs leer (und der gesamte Text bleibt auf einer Bildschirmseite)
kollaboratives Live-Coding. Bsp.: Damian Silvani: Web-based P2P collaborative editor for live coding music and graphics https://munshkr.github.io/flok/
aktuell (2024) 21./22. Dezember: 36 Stunden live coding https://club.tidalcycles.org/t/solstice-stream-2024-call-for-live-coders/5536

Live Coding mit Tidalcycles: Künstler

Alex McLean, Making music with text[ure], https://slab.org/publications/
Mike Hodnick, I program computers and music. https://www.kindohm.com/

Kindohm at International Conference on Live Coding, October 15th 2016, at The Spice Factory, Hamilton, Ontario, Canada.

https://www.youtube.com/watch?v=smQOiFt8e4Q

https://github.com/kindohm/365tidalpatterns
vgl.

https://web.archive.org/web/20170609193157/http://iclc.livecodenetwork.org/2015/papers.html

Übungen

Tidal installieren und starten
1. jack richtig configurieren, siehe https://git.imn.htwk-leipzig.de/waldmann/cm-ws18#hinweise-zur-richtigen-konfiguration-von-audio-hard-und-software
2. SuperDirt installieren
3. dann SC-Server starten mit sclang superdirt_startup.scd
4. Tidal-Cycles installieren
```
cabal install --lib tidal
```
5. Tidal-Cycles starten
```
ghci -ghci-script $(ghc-pkg field -f $HOME/.cabal/store/ghc-$(ghc --numeric-version)/package.db tidal data-dir|tail -c+10)/BootTidal.hs

d1 $ s "bd sn"
hush
```
6. Ü: warum ist das Boot-File kein reguläres Haskell-Modul?
Tidal verstehen:

für den Typ Pattern a: Welche Eigenschaften gelten für die Konstruktoren (pure,silence) und Operatoren (fmap,stack,(<*>),(<*),(*>), cat)
1. z.B.: Welche sind assoziativ, kommutativ, haben neutrale Elemente; welche Distributivgesetze gelten?
2. Überprüfen Sie die Axiome von Functor und Applicative
3. Eigenschaften von fast? (in Beziehung zu anderen) 1. wenn das erste Argument konstant ist, 2. wenn es ein Muster ist.
vgl. Types in Tidal-Cycles: https://www.imn.htwk-leipzig.de/~waldmann/etc/untutorial/tc/
Tidal hören:
1. Kindohm (Mike Hodnick) https://github.com/kindohm/365tidalpatterns
2. https://git.imn.htwk-leipzig.de/waldmann/computer-mu/-/tree/master/tidal/code
Tidal benutzen
1. für einige Audio-Files (https://gitlab.imn.htwk-leipzig.de/waldmann/cm-ws18/tree/master/kw49/data) den Tidal-Quelltext erraten. Hinweis: benutzt wurden s "casio:1", fast, speed, rev, every, room
2. Steve Reich: Piano Phase nachbauen.
  
  Hinweis: chromatische Tonfolgen so möglich: s "sine" |+| speed (fmap (\i -> 2**(i/12)) "0 4 9"
3. Antonio Carlos Jobim, Newton Mendonca: One Note Samba, Rec. Stan Getz, Charlie Byrd, 1962, LP Jazz Samba. Der Stil wurde als Bossa Nova bekannt.
  1. Welche Rolle spielt der festgehaltene Ton ($f$) im jeweiligen Akkord? ($D^{-7} D^{\flat7} C^{-7} B^{7\flat 5}$)
  2. Programmieren Sie den Rhythmus (Stick ab 1:28 min)

Planung der Abschluß-Projekte

Ziel: Methoden aus der Vorlesung benutzen, um eine musikalische Wirkung zu gestalten. Diese live vorführen.
Ideen für Projekte:
1. (Standard: jedes Vorlesungsthema, siehe auch Übungsaufgaben)
2. Verknüpfung von zwei verschiedenen Themen
3. Hacks, d.h., Verwendung einer Methode/eines Werkzeugs zu einem nicht bestimmungsgemäßen Zweck
4. Verknüpfung mit Themen aus anderer Vorlesung, z.B. Robotik
5. Bezug zu Leipzig, z.B.
  - J. S. Bach, H. Riemann, Jutta Hipp https://www.bluenote.com/artist/jutta-hipp/
  - Lipsi https://de.wikipedia.org/wiki/Lipsi_(Tanz),
  - Musikautomaten https://mfm.uni-leipzig.de/dt/dasmuseum/Publik_6onlinepub.php
Projekt besteht aus Bericht und Vorführung. Je 2 Personen sollen zusammenarbeiten. Bis KW 51 Gruppen/Themen nennen, bis KW 54 Abstract und Gliederung vorlegen. Zu Vorlesungsende abzugeben sind Bericht (PDF, ca. 10 Seiten) sowie Arbeitsversionen der Quelltexte und Audiodateien. Können bis Vorführung noch überarbeitet werden. Im Bericht sind individuelle Beiträge zu markieren, sonst gemeinsame Note.
Bewertet werden
1. Plan: was soll stattfinden, wie soll es wirken?
2. Inhalt: Bezug zu Themen, Methoden, Werkzeugen aus der Vorlesung, ggf. durch eigene Recherchen ergänzt
3. Form: wissenschaftliches Schreiben, vgl. Simon Peyton Jones:
  
  https://www.microsoft.com/en-us/research/academic-program/write-great-research-paper/
4. Technik/Vorführung: stimmt mit Beschreibung überein, wurde geübt, ohne Verzögerungen präsentiert, Präsentation ist nachvollziehbar (Quelltexte, Befehle, Eingaben/Ausgaben sind live sichtbar)

3kl.	\(C\)	\(F\)	\(B^0\)	\(E^-\)	\(A^-\)	\(D^-\)	\(G\)	\(C\)
4kl.	\(C^{\maj7}\)	\(F^{\maj7}\)	\(B^{-7(\flat 5)}\)	\(E^{-7}\)	\(A^{-7}\)	\(D^{-7}\)	\(G^{7}\)	\(C^7\)
Ton	I	IV	VII	III	VI	II	V	I
	T	S		Dp	Tp	Sp	D	T

1,	9/8,	5/4,	11/8,	3/2,	13/8,	7/4,	15/8,	2
c	d	e	\(\approx\) f	g	\(\approx\) a\(\flat\)	\(\approx\) b\(\flat\),	\(\approx\) b	c’

Einleitung

Definition Computermusik

Definition Musik

Definition Pop(uläre) Musik

Hörbeispiele

Plan unserer Vorlesung (I)

Plan unserer Vorlesung (II)

Organisatorisches

Die LV insgesamt

Übungen

GNU/Linux-Audio

Übungs/Haus-Aufgaben

Geräusch und Klang

Begriffe

Modell einer periodischen Schwingung

Numerische Näherungslösung der Dgl.

Implementierung der numerischen Sim.

Exakte Lösung der Dgl.

Schwingung einer Saite

Anpassung und Anwendung

Beispiel: Mbira (Daumenklavier)

Beispiel: schwingende Metallstäbe

Weitere period. Schwingungen f. Instrumente

Beispiele

Geräusch-Instrumente

Chaotische Schwingungen

Hausaufgaben

Klang-Analyse (Grundlagen)

Definition, Motivation

Periodische Funktionen

Beispiel: Rechteck-Schwingung

Beispiel: Sägezahn-Schwingung

Spektren von Audiosignalen

Programme zur Spektral-Analyse

Zeit-Dehnung

Spektren von Klängen/Instrumenten

Aufgaben

Elektrische Oszillatoren und Filter

Plan

Elektrische Schaltungen

Schaltung – Beispiel Tiefpaß

Bemerkung zur Methodik

Weitere Filter: Hochpaß, Bandpaß

Weitere Filter: Allpaß

Klangveränderung durch Filter

Klangveränderung durch Filter

Filter in der Musik-Praxis (Fender Amp)

Filter in der Musik-Praxis (Wah)

Filter in der Musik-Praxis (Echo)

Chorus, Flanger

Phaser

Nichtlineare Filter (Verzerrer)

Übungsaufgaben

Spannungs-gesteuerte Osz. und Filter

Vorläufer: das Theremin (Lev Termen, 1922)

Spannungsgesteuerte Schaltungen

Spannungsgesteuerte Komponenten

Steuerspannungen aus Benutzeraktionen

Erste Synthesizer in populärer Musik

Baukastensysteme (alt und neu)

Simulation mit grafischer Programmierung

Übungen

Programme für Klänge

Motivation

Eine eDSL für (Audio-)Signale

Nützliche Eigenschaften der Gastsprache

Operatoren für Signale (Bsp: shift)

csound-expression

CE-Beispiel: Additive Synthese

weitere Csound/CE-Beispiele und -Quellen

Typen für Signale und Filter in Csound

Schnittstellen für Live-Spiel: MIDI

Ring-Modulation

Übungen

Harmonielehre

Motivation, Plan

Klassische Literatur

Die Naturtonreihe

Konsonanz

(Vermeiden von) Schwebungen