Bitonisches Zählen und Zusammenfügen (Aufgaben)

Beweise: die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

• (x₁,…, x_n) ist Schrittfolge
• ∀1≤i < j≤n : 1≥x_i - x_j≥ 0.
• Wenn m = $\sum$x_i, dann ∀i : x_i = ⌈${\frac{{m-i+1}}{{n}}}$⌉

Wenn x eine Schrittfolge ist, welche Beziehungen gelten zwischen $\sum$odd(x),$\sum$(x)/2,$\sum$even(x)?
(Möglichst genau! Benutze ggf. ⌈⋅⌉,⌊⋅⌋

Beweise: Wenn x und y gleichlange Schrittfolgen mit $\sum$x = 1 + $\sum$y, dann gilt für alle bis auf ein i: x_i = y_i.
Was gilt stattdessen für dieses i?