Beispiel: Mbira (Daumenklavier)
Zungen aus Holz oder Metall auf Resonanzkörper
Hörbeispiele: Stella Chiweshi: Chigamba,
Konono No. 1: Konono Wa Wa
Computermusik (richtig: Musikinformatik) soll bedeuten:
Analyse und Synthese von Musik
mithilfe der Informatik (Algorithmen, Software)
(An.: hören, verstehen; Syn.: komponieren, aufführen)
beruht auf Modellen aus der Musiktheorie, z.B. für
Erzeugung von Klängen in physikalischen Systemen,
das Tonmaterial:
Tonhöhe, Konsonanz und Dissonanz, Akkorde, Skalen
die zeitliche Anordnung des Materials:
Rhythmen, Melodien, Kadenzen, Kontrapunkt
die Kunst der zeitlichen Anordnung von Klängen.
(Edgar Varese 1883–1965: I call it organised sound)
„Kunst“ bedeutet: der Autor (Komponist, Interpret) will im Hörer Empfindungen hervorrufen
das geht sowohl sehr direkt, Beispiele:
Tonreihe aufsteigend: Frohsinn, absteigend: Trübsal
Dissonanz \(\Rightarrow\)
Spannung, Unruhe;
Konsonanz \(\Rightarrow\) Auflösung,
Ruhe
als auch indirekt, Beispiele:
Zitat (Parodie) von Elementen andere Musikwerke:
Anerkennung (Daft Punk \(\Rightarrow\) Giorgio Moroder), Aneignung (F.S.K.), Ablehnung (Punk \(\Rightarrow\) Prog Rock).
die mechanische (Aufnahme und) Vervielfältigung von Audiosignalen
(seit ca. 1920, Grammophon)
trennt die Aufführung vom ihrem Resultat (dem
Klang)
(Elijah Wald, An Alternative History of American Popular Music, Oxford Univ. Press, 2009)
dadurch entsteht Popmusik, das ist etwas Neuartiges
statt Komposition (Klassik) oder Improvisation (Jazz): Produktion des Klangs in einem Studio
rezipiert wird nicht nur der Klang, sondern unzählige Nebenprodukte, insb. Bilder (z.B. Schallplattenhüllen)
die Bedeutung wird daraus vom Fan konstruiert
(Diederich Diederichsen, Über Popmusik, Kiepenheuer, 2014)
Daft Punk (Guy-Manuel de Homem-Christo und Thomas Bangalter): Giorgio by Moroder (LP Random Access Memories, 2013)
Donna Summer: I Feel Love (Single, 1977) Produzent: G. Moroder
Kraftwerk (Ralf Hütter und Florian Schneider): Autobahn (LP 1974), aufgenommen im Studio Conny Plank
Neu! (Michael Rother und Klaus Dinger): Hallogallo (1972), Produzent: Conny Plank
Stereolab (Tim Gaine, Laetitia Sadier u.a.): Jenny Ondioline (1993)
Grandmaster Flash (Joseph Sadler) The Message(1982)
Big Black (Steve Albini u.a.): Kerosene (1986)
jede Woche eine Vorlesung, eine Übung
Prüfungszulassung: regelmäßiges und erfolgreiches Bearbeiten von Übungsaufgaben (teilw. autotool)
Prüfung: Projekt (erarbeiten, dokumentieren, präsentieren),
je zwei Personen
live coding
mit Methoden und Werkzeugen aus der Vorlesung
Dokumentation (welche kreative Idee wurde wie realisiert)
Abschluß-Konzert (je Projekt: 10 min Präsentation, 20 min Diskussion)
Sie benutzen die Rechner im Pool (Z423/430) mit dort installierter Software. — Kopfhörer mitbringen!
Es ist zu empfehlen, die gleiche Software auch auf Ihren privaten Rechnern zu installieren, damit Sie selbst experimentieren und Hausaufgaben erledigen können.
wir verwenden ausschließlich freie Software (Definition: siehe https://www.gnu.org/philosophy/free-software-intro.html) (Debian-Pakete oder selbst kompiliert). Alles andere wäre unwissenschaftlich — weil man es eben nicht analysieren und ändern kann.
…kompliziert, weil
alles sehr modular funktionieren soll,
korrekt (bei Musik: mit geringer Latenz)
für einen großen Bereich von Hardware (neu bis alt, teuer bis billig)
Hardware (Soundkarte, intern/extern), Treiber
ALSA https://alsa-project.org/ Advanced Linux Sound Architecture
Jack https://wiki.archlinux.org/title/JACK_Audio_Connection_Kit (pipewire-jack)
Pipewire, Pulseaudio (kämpfen mit Jack um Zugriff auf Hardware bzw. Alsa-Treiber)
Das sind Beispiele für Tätigkeiten, die in dieser LV (und in allen anderen) immer wieder vorkommen: nicht nur Software bedienen und Knöpfchen drehen, sondern auch:
Analysieren, Rechnen, Recherchieren, historisch einordnen, Programmieren (Synthetisieren).
(bereits in Ü) ausprobieren: Hydrogen (Drum-Sequencer) \(\to\) Rakarrack (Effekt-Prozessor)
Audio-Routing mit qjackctl oder qpwgraph (zuerst starten?!)
Finden Sie die von Hydrogen benutzte Audio-Datei für TR808 Emulation Kit, Kick Long
anhören mit vlc,
konvertieren Sie mit sox in wav-Format,
(Hinweis: man sox),
betrachten Sie Dateiinhalt (Amplituden-Verlauf) mit
gnuplot -persist -e "plot 'kick.wav' binary format='%int16' using 0:1 with lines"Bestimmen Sie mittels dieses Bildes die Grundfrequenz der Schwingung. Welche weitere Information ist dazu nötig, woher bekommen Sie diese?
betrachten Sie Dateiinhalt mit
od -cx kick.wav | lessWo endet der Header (wo steht das erste Datenbyte)?
Suchen Sie die offizielle WAV-Spezifikation, bestimmen Sie deren bibliografische Daten (Autor/Gremium, Ort, Jahr)
Erzeugen Sie durch ein selbstgeschriebenes Programm (Sprache beliebig) eine wav-Datei, die einen (kurzen) Sinus-, Dreieck-, oder Rechteckton enthält,
ansehen mit gnuplot, abspielen mit vlc,
verwenden Sie das als Sample in Hydrogen.
Wie sah diese Maschine (TR808) aus?
Welche Band führt diese Maschine im Namen?
(Hinweis: https://www.vintagesynth.com/, Matt Friedman 1996–)
Kann Hydrogen alle dort angegebenen Eigenschaften des Originals simulieren?
beschreiben Sie Struktur und (einige) Elemente von Ritchie Hawtin: Minus Orange 1, Aphex Twin: Flaphead o.ä., simulieren Sie mit Hydrogen und Rakarrack.
Geräusch:
erzeugt durch Schwingungen eines physikalischen Systems (z.B. Musikinstrument)
übertragen durch Druckschwankungen in einem Medium (z.B. Luft), durch Ohr wahrnehmbar
Klang: …durch periodische Schwingungen …
virtuelle (elektronische) Instrumente
simulieren den physikalischen Vorgang
oder speichern nur dessen Verlauf
Unterschied zu automatischem Spiel reeller Instrumente
Modell:
ein Körper mit Masse \(m\) und Ruhelage \(0\)
bewegt sich auf einer Geraden \(g\),
d.h., hat zum Zeitpunkt \(t\) die Koordinate \(y(t)\)
die Rückstellkraft (bei Pendel: durch Schwerkraft, bei schwingender Saite: durch Elastizität) ist \(F= -k\cdot y\).
Notation: das ist eine Gl. zw. Funktionen (der Zeit)!
mathematische Beschreibung
Geschwindigkeit \(v = y'\), Beschleunigung \(a = v' = y''\)
nach Ansatz ist \(a= F/m = - (k/m) \cdot y\)
\(y\) ist Lsg. der Differentialgleichung \(-(k/m) y = y''\)
gegeben \(k, m\), bestimme Funktion \(y\) mit \(-(k/m) y = y''\)
numerische Näherungslösung durch Simulation:
ersetze Differentialgleichung durch Differenzengleichung
wähle \(y_0\) (initiale Auslenkung), \(\Delta>0\) (Zeitschritt),
bestimme Folgen \(y_0, y_1,\dots,v_0=0,v_1,\dots,a_0,a_1,\dots\)
mit \(a_i=-(k/m) y_i\), \(v_{i+1}=v_i+\Delta a_i\), \(y_{i+1}=y_i+\Delta v_i\)
genaueres in VL Numerik,
z.B.: Stabilität besser, wenn \(y_{i+1}=y_i+\Delta v_{i+1}\)
Zustandstyp: \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) (Ort \(\times\) Geschwindigkeit),
Zustandsfolge mit
iterate :: (a -> a) -> a -> [a]
let { d = 0.1 } in iterate
(\ (y,v) ->
let { a = negate y
; vn = v + d * a ; yn = y + d * vn
} in (yn,vn))
(1,0)anzeigen:
(Henning Thielemann), WAV ausgeben:
(Bart Massey)
gegeben \(k, m\), bestimme Funktion \(y\) mit \(-(k/m) y = y''\)
genaueres siehe VL Analysis, z.B. Ansatz von \(y\) als
Potenzreihe \(y=\sum_{k\in\mathbb{N}} c_k x^k\), Koeffizientenvergleich von linker und rechter Seite der Dgl.
Linearkombination von anderen Basisfunktionen (anstatt Potenzen)
wenn man Glück hat, oder die numerische Lösung gesehen hat:
Ansatz \(y(t) = \cos (f \cdot t)\)
wir erhalten die reine harmonische Schwingung
…aus vielen Massepunkten, \(u:\text{Ort}\times\text{Zeit}\to\text{Auslenkung}\)
Elastizität des Materials wirkt in jedem Punkt
als Kraft in Richtung beider Nachbarn
Differenzengl., diskret: \(y_k''=(y_{k-1}-y_k)+(y_{k+1}-y_k)\)
math. Modell, kontinuierlich: \(d^2 u/(d t)^2 = c\cdot d^2 u/(d x)^2\),
Randbedingungen \(u(0,t)=u(1,t)=0\), \(u(x,0)=0\)
Ansatz \(u(x,t)=f(x)\cdot g(t)\), es gibt mehrere Lösungen
Dgl. ist linear: jede Summe von Lösungen ist Lösung
Hermann Helmholtz: Vorl. über die mathematischen Prinzpien der Akustik, Leipzig 1898 https://archive.org/details/vorlesungenber03helmuoft
diese Modell ist Energie-erhaltend
tatsächlich wird aber Energie abgegeben (1.über das Medium an den Sensor, 2. durch Reibung im schwingenden Körper als Wärme an die Umgebung)
Modellierung der Dämpfung z.B. durch Reibungskraft proportional zu Geschwindigkeit \(F_R = r\cdot v = r\cdot y'\)
Aufstellen und Simulation der Dgl. in Übung.
mit diesem Modell können wir beschreiben:
Klang einer Saite (Gitarre, Klavier, Cembalo)
(nicht Geige)
Klang eines Trommelfells (Fußtrommel, nicht Snare)
Zungen aus Holz oder Metall auf Resonanzkörper
Hörbeispiele: Stella Chiweshi: Chigamba,
Konono No. 1: Konono Wa Wa
Spielzeug-„klavier“ 
Fender-Rhodes-Piano (1965–1984) https://www.fenderrhodes.com/org/manual/toc.html
Hörbeispiele: Miles Davis: Spanish Key 1969,
Steely Dan: Babylon Sisters 1980
Vibraphon (Metallstäbe, Resonanzröhren mit beweglicher Abdeckung)
Hörbeispiele: Tortoise: Ry Cooder 1994,
Claudia Quintet: September 20 Soterious Lakshmi 2013
Wirkung der Dämpfung kann durch regelmäßige Energiezufuhr ausgeschaltet werden (\(\Rightarrow\) angeregte Schwingung) z.B. das Anstoßen einer Schaukel
Geige:
Bewegung des Bogens führt der Saite Energie zu
regelmäßige Unterbrechung durch Kontaktverlust Bogen–Saite bei zu starker Auslenkung
Blasinstrumente:
Anblasen führt der schwingenden Luftmenge Energie zu
regelmäßige Unterbrechung durch Blatt (Oboe, Saxofon), Lippen (Trompete) oder Luftsäule selbst (Orgel, Flöte)
Querflöte: Bobbi Humphrey Harlem River Drive 1973
Saxophon: John Coltrane, A Love Supreme, 1965
Posaune: Conrad und Johannes Bauer Dialog 1 1995
Posaune, Mundharmonika (?)
Lee Perry Heavy Rainford 2019 (Prod. Adrian Sherwood)
Melodica (angeblasene Metallzungen, vgl. Triola)
Augustus Pablo King Tubbys Meets The Rockers Uptown 1974,
vgl. David Katz: A beginner’s guide to Augustus Pablo Fact Magazine, 2015 https://web.archive.org/web/20230325085740/https://www.rockersinternational.com/
nichtperiodisches Verhalten kann erzeugt werden durch
Überlagerung (fast gleichzeitiger Ablauf) sehr vieler unterschiedlicher periodischer Schwingungen
für zahlreiche (Rhythmus)-Instrumente benutzt, z.B.
Maracas (Rumba-Kugel), Kashaka: enthalten viele kleine harte Klangkörper, die aneinanderstoßen
Snare (kleine Trommel): mehrere Federn, die gegen Fell der Unterseite schlagen (schnarren)
nichtperiodische Schwingung eines phys. Systems
z.B. Doppel-Pendel, Mehr-Körper-System
keine direkte Anwendung als Instrument bekannt,
Simulation evtl. für virtuelle Instrumente nützlich
wenn man das wirklich nur simulieren möchte (nicht physikalisch realisieren)
dann kann man auch mathematische Modelle ohne physikalisches Äquivalent betrachten
Bsp: Iteration von \(f: [0,1]\to[0,1]: x\mapsto 4\cdot (x - 1/2)^2\)
zeigt aperiodisches (chaotisches) Verhalten
Bsp: bitweise Manipulation (der Zeit)
t * ((t>>12|t>>8)&63&t>>4)
ergibt (im Allgemeinen) nur ein Rauschen,
Grundlage für Simulation andere Klänge (mit Filtern)
aber im Speziellen: interessante Klänge möglich
Wie wird Musikgeschichte zitiert (im Klang und) im Text von: DJ Hell: Electronic Germany (2009)
Wer singt auf U Can Dance des gleichen Albums? War früher (viel früher) in welcher Band? Wer hat dort anfangs elektronische Instrumente gespielt? Danach welchen Musikstil erfunden?
weitere Beispiele für Musikzitate suchen, genau beschreiben, was zitiert wird, wie groß der Abstand ist (zeitlich, inhaltlich) und diskutieren, warum.
harmonischen bzw. gekoppelten Oszillator modifizieren: Schwingungen simulieren, Resultate ansehen,
periodische
gedämpfte (durch Zusatz-Term in harmonischem)
chaotische (durch Nichtlinearität in der Kopplung)
anhören
einzeln
als Drumkit in Hydrogen
die Simulation der Saite verändern:
das Beispiel aus Helmholtz § 39 Fig. 7 realisieren (Zupfen der Saite nicht in der Mitte), Resultat mit Fig. 11 vergleichen
§ 42 realisieren (belastete Saite: ein Punkt hat andere Masse)
kleine Bit-Musikstücke (Beispiel:
t << (t>>10)) vollständig analysieren, dann
modifizieren.
Die Differentialgleichung der harmonischen Schwingungen \(y''=-y\) durch Potenzreihen-Ansatz und Koeffizientenvergleich lösen: \[\begin{eqnarray*} y &=& c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4 x^4 + \dots \\ y' &=& 1 c_1 + 2 c_2 x + 3 c_3 x^2 + 4 c_4 x^3 + \dots \\ y'' &=& 1\cdot 2 \cdot c_2 + 2\cdot 3\cdot c_3 x + 3\cdot 4\cdot c_4 x^2 + \dots \\ -y &=& -c_0 \qquad - c_1 x\qquad - c_2 x^2 - \dots \\ & & c_2=-\frac{c_0}{1\cdot 2}, c_3=-\frac{c_1}{2\cdot 3}, c_4=-\frac{c_2}{3\cdot 4}=\frac{c_0}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} ,\dots \end{eqnarray*}\]
\(c_0\) und \(c_1\) frei wählbar (Bsp: \(c_0=0, c_1=1\))
weitere Koeffz. dadurch bestimmt (ausrechnen!)
alles unter den (hier unbewiesen) Annahmen, daß die Dgl. eine Lösung hat und die Potenzreihe konvergiert
jede periodische Schwingung kann als gewichtete Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden
(Jean Fourier, 180?, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fourier.html)
die Folge dieser Gewichte der Obertöne ist das Spektrum, das charaktetisiert die Klangfarbe
Änderung des Wellenform
linear (z.B. Filter), nichtlinear (z.B. Verzerrer)
kann beschrieben werden als Änderung des Spektrums,
diese ist ggf. leichter zu berechnen
für \(\Omega=[-\pi,\pi]\) betrachte \(\textsf{P}=\{f\mid f:\Omega\to\mathbb{R}\}\).
\(\textsf{P}\) ist Vektorraum (Addition, Skalierung) und Hilbert-Raum
Skalarprodukt \(\displaystyle \langle f,g\rangle := \int_\Omega f(x)\cdot g(x) ~ dx\), Norm \(|f|=\sqrt{\langle f,f\rangle}\)
\(b_1=1, b_2=\sin(x),b_3=\cos(x),b_4=\sin(2x),b_5=\cos(2x),\dots\)
bilden eine orthogonale Basis für \(\textsf{P}\)
nach geeigneter Skalierung sogar orthonormal
jedes \(f\in \textsf{P}\) eindeutig darstellbar als Linearkombination von Basisvektoren \(\displaystyle f = \sum_i~ \langle f,b_i\rangle / |b_i|^2 \cdot b_i\)
weitere Voraussetzungen sind nötig (damit Integrale und Summen existieren), siehe VL Analysis
numerisch: approximiere Integral durch Summe
\(\Omega\to\mathbb{R}: t\mapsto \textsf{if~}t<0 \textsf{~then~}-1 \textsf{~else~}\textsf{if~}t = 0 \textsf{~then~}0 \textsf{~else~}1\)
das ist die Signum- (Vorzeichen)-Funktion \(\operatorname{sign}\)
\(\displaystyle \operatorname{sign}(x) = (4/\pi) \sum_{k~\text{ungerade}} \frac{\sin(kx)}{k}\)
(nur ungerade Oberwellen)
Nebenrechnungen:
\(\cos(kx)\) ist gerade Funktion, \(\operatorname{sign}(x)\) ungerade,
deswegen \(\langle \operatorname{sign}(x),\cos(kx)\rangle=0\)
\(\langle\operatorname{sign}(x),\sin(kx)\rangle = 2\cdot \int_{[0,\pi]} \sin(kx)dx=[-1/k\cdot \cos(kx)]_0^\pi=\)
\(\textsf{if~}2|k \textsf{~then~}0 \textsf{~else~}4/k\)
\(f: \Omega\to\mathbb{R}: x\mapsto x\)
numerische Bestimmung der Fourier-Koeffizienten
let k = 4 ; d = 0.01
in sum $ map (\x -> d * x * sin (k*x))
[ negate pi, negate pi + d .. pi ]
==> -1.570723326585521Vermutung \(\displaystyle f = -\frac{2}{\pi} \sum_{k\ge 1} \frac{(-1)^k}{k}\sin(kx)\) ( alle Oberwellen )
Spektrum eines Signals \(f\) kann so bestimmt werden:
teile Signal in Zeit-Intervalle (z.B. \(\Delta=1/10\) s),
\(f_i : [-\Delta, \Delta] \to \mathbb{R}: t \mapsto f(i\Delta + t)\)
wähle Frequenz-Werte \(k_1, k_2, \dots\)
bestimme Koeffizienten der Freq \(k_j\) zur Zeit \(i\Delta\) als \(\langle f_i,k_j\rangle\)
Anzeige z.B. in vlc: Audio \(\to\) Visualisations \(\to\) Spectrum
es gibt schnellere Algorithmen
(diskrete Fourier-Transformation)
das Ohr bestimmt die Fourier-Koeffizienten durch Resonanz in der Schnecke (Cochlea), Frequenz-Auflösung ist ca. 3 Hz bei 1 kHz
Chris Cannam, Christian Landone, and Mark Sandler: Sonic Visualiser: An Open Source Application for Viewing, Analysing, and Annotating Music Audio Files, in Proceedings of the ACM Multimedia 2010 International Conference.
Anwendungsbeispiel:
Aphex Twin, \(\Delta M_i^{-1}=-\alpha \Sigma D_i[\eta] Fj_i[\eta-1]+F\text{ext}_i[\eta^-1]\),
Album: Windowlicker, 1999.
hergestellt mit Metasynth (Eric Wenger, Edward Spiegel, 1999) http://www.uisoftware.com/MetaSynth/,
wenn man ein Audio-Signal \(f:\TT\to\mathbb{R}\) zeitlich dehnt
(Bsp: \(g(x)= f(s\cdot x)\) mit \(s=1/2\)),
dann ändert man damit die Frequenzen.
Zeit-Dehnung ohne Frequenz-Änderung:
\(\text{Signal}_1 \stackrel{\text{Spektral-Analyse}}{\longrightarrow} \text{Spektrogramm}_1 \stackrel{\text{Zeit-Dehnung}}{\longrightarrow} \text{Spektrogramm}_2 \stackrel{\text{Spektral-Synthese}}{\longrightarrow} \text{Signal}_2\)
Audio-Kompressoren MP3, AAC haben bereits solche Signalkette, mit Kompression (Bitbreiten-Reduktion) statt Zeit-Dehnung, diese kann leicht hinzugefügt werden
Bsp: 7038634357 (Neo Gibson): Barry White Stretched Out And Reworked 2022
harmonische Schwingung: keine Oberwellen,
kommt in der Natur selten vor und ist für Musikinstrumente auch gar nicht erwünscht:
Oberwellen ergeben interessantere Klänge,
die auch variiert werden können
Bsp: Gitarre: Anschlagen nahe dem Steg: viele Oberwellen, zur Saitenmitte: weniger.
Bsp. Schlagzeug (Trommel, Tom): Anschlag Mitte/Rand
Bsp: Orgel: offene und gedackte Pfeifen, siehe dazu Kalähne 1913 (Hausaufgabe)
In Autobahn (Kraftwerk) fährt bei ca. 1:49 ein Auto am Hörer vorbei. Wie schnell?
(Hinweis: Frequenzen mit sonic-visualier bestimmen, Doppler-Effekt verwenden)
wie unterscheiden sich Spektren der Luftschwingungen in offenen von einseitig geschlossenen Röhren? nach: Alfred Kalähne: Grundzüge der mathematisch-physikalischen Akustik, Leipzig 1913,
Fourier-Koeffizienten einer Rechteck-, Sägezahn-, Dreiecks-Schwingung bestimmen:
Skalarprodukte symbolisch oder numerisch bestimmen
Wellenform in WAVE-Datei schreiben und Spektrum analysieren
(sonic-visualiser)
Bestimmen Sie für das Signal Rechteck \(+\) 2 mal Sägezahn
die Wellenform
die Fourier-Koeffzienten (unter Verwendung der im Skript angegebenen Koeffz. der einzelnen Signale)
Software zu diskreter (und schneller) Fourier-Transformation: https://git.imn.htwk-leipzig.de/waldmann/computer-mu/-/tree/master/dft?ref_type=heads
Invertierbarkeit der Transformation ausprobieren.
Vergleichen Sie Klangeindruck bei Rasterung (geringe Bitbreite) für originale Wellenform mit gleicher Rasterung für Fourier-Koeffizienten.
Realisieren Sie ähnliches Experiment (schlechte MP3-Kodierung) durch
Wahl einer (geringen) Bitbreite für ffmpeg.
bei verschiedenen Musikalienhändlern kann man Audio-Dateien in
verschiedenen Formaten kaufen, u.a. flac (verlustfreie Kompression) und
ogg (verlustbehaftet). Ist flac immer besser als ogg? Das kommt darauf
an, was der Künstler abgeliefert hat. Wenn man Pech hat, war das ein
schlechtes mp3 und der Händler hat alles weitere daraus mit
ffmpeg ausgerechnet. An Beispielen überprüfen— und
hoffentlich widerlegen! Kurz-Ausschnitte von Test-Dateien im Repo. Schon
das Kurz-Schneiden ist nicht trivial, es soll wirklich nur schneiden und
nicht neu kodieren.
(evtl.) hörbare Audio-Wasserzeichen? Matt Montag, https://www.mattmontag.com/music/universals-audible-watermark, 2013
bisher: mechanische Schwingungen
Bsp: Massepunkt/Feder,
Anwendung: akustische Musikinstrumente
Bsp: Saiten, Membrane, Luftsäulen
jetzt: elektrische Schwingungen (und Filter)
Bsp: Oszillator (LC), Tiefpaß (RC)
Anwendungen: diese VL: Filter, nachfolgende:
Analog-Synthesizer (Robert Moog 64, Don Buchla 63)
Simulation von A.-S. (csound, Barry Vercoe, 1985)
Ziele: 1. möglichst exakte Nachbildung (des Akustischen, des Analogen), 2. völlig neuartige Klänge
Schaltung: gerichteter Graph,
Kanten sind Bauelemente
ohne Zustand: Widerstände, Verstärker (Transistor)
mit Zustand: Kondensator: elektrisches Feld,
Spule: magnetisches Feld
durch jede Kante fließt Strom,
jeder Knoten hat Potential
besondere Knoten: Masse (0), Eingabe, Ausgabe
Zustandsänderung nach Gesetzen der Physik (Elektrik)
vergleiche: Massepunkte, Trägheits-, Federkräfte
Schaltung realisiert Operator \(F\) von Eingabesignal \(g:\Omega\to\mathbb{R}\) zu Ausgabesignal \(F(g):\Omega\to\mathbb{R}\)
Schaltung:
(0,3) node [left]\(U_E\) to [short,i=\(I\),*-] (1,3) to [R,l=\(R\), -*] (4,3) to [C,l=\(C\)] (4,1) node [ground] (3,3) to [short,-*] (5,3) node [right] \(U_A\) ;
Widerstand: \(U_E-U_A=R \cdot I\)
(siehe auch Kraftwerk: Ohm Sweet Ohm, 1975)
Kondensator: \(\displaystyle I = C \cdot \frac{d U_A}{d t} = C\cdot U_A'\)
Bsp: \(U_E(t) = 1 \text{V}\), \(U_A(0)=0\) (Kondensator leer)
\(C\cdot U_A' = I = (1-U_A)/R\), Simulation, exakte Lösung
Bsp: \(U_E(t)=\sin(2\pi f t)\), \(U_A(t)=?\)
wirkt als Tiefpaß-Filter: Schwächung hoher Frequenzen
(analoge) Schaltungstechnik, seit \(\ge\) 100 Jahren alles wohlbekannt,
Umformung zur praktischen Berechnung: 1. Analyse harmonischer Schwingungen, 2. Linearkombination.
Harmonische Schwingungen fester Frequenz
sind bestimmt durch Betrag \(r\) und Phase \(\phi\),
dargestellt als eine komplexe Zahl \(z = r \exp(i\phi)\in\mathbb{C}\)
verwende Kirchhoffsche Regeln f. komplexe Größen
Bsp: Kondensator mit Kapazität \(C\) hat bei Kreisfrequenz \(\omega\) den komplexen Widerstand (Impedanz) \(1/(i\omega C)\),
Spule mit Induktivität \(L\) hat Impedanz \(i\omega L\).
funktioniert, solange alle Bauelemente linear sind (Widerstand hängt nur von Frequenz ab)
(0,3) node [left]\(U_E\) to [short,i=\(I\),*-] (1,3) to [R,l=\(R\), -*] (4,3) to [L,l=\(L\)] (4,1) node [ground] (3,3) to [short,-*] (5,3) node [right] \(U_A\) ;
, Spule: \(\displaystyle U_A = L \cdot\frac{d I}{d t}= L \cdot I'\)
wirkt als Hochpaß (tiefe Frequenzen werden geschwächt)
(0,3) node [left]\(U_E\) to [short,i=\(I\),*-] (1,3) to [R,l=\(R\), -*] (4,3) to [L,l=\(L\)] (4,1) node [ground] (4,3) to [short,-*] (6,3) to [C,l=\(C\)] (6,1) node [ground] (6,3) to [short,-*] (8,3) node [right] \(U_A\) ;
, wirkt als Bandpaß
(hohe und tiefe \(f\) geschwächt, in der Nähe der Resonanzfrequenz weniger)
Bandpaß mit Rückführung und Verstärkung:
wirkt als Oszillator (schwingt auf Resonanzfrequenz)
lattice filter (d: Gitter- oder Leiter-Filter)
(0,4) node [left] to [short,*-] (1,4) to [C,l=\(C\)] (5,4) to [short,-*] (6,4); (1,4) to [L,l=\(L\)] (3,2) to [] (5,0); (0,0) node [left] to [short,*-] (1,0) to [C,l=\(C\)] (5,0) to [short,-*] (6,0); (1,0) to [] (3,2) to [L,l=\(L\)] (5,4);
vgl. Julius O. Smith, Physical Audio Signal Processing, W3K Publishing, https://ccrma.stanford.edu/~jos/pasp/Allpass_Filters.html
angewendet im Phaser
ein Filter ist ein Operator von \((\Omega \to \mathbb{R})\) nach \((\Omega\to\mathbb{R})\)
(eine Funktion der Zeit auf eine Funktion der Zeit,
d.h., Filter ist Funktion zweiter Ordnung)
Bsp: der Operator \(\textsf{scale}_s: g\mapsto (x \mapsto s\cdot g(x))\)
Bsp: der Operator \(\textsf{shift}_t: g \mapsto (x\mapsto g(x-t))\)
akustisch ist das ein Echo. Mehrere Echos ergeben Hall.
Realisierungen:
Tonband-Schleife
Federhallstrecke
typisch für: Gitarrenklang in Surf-Musik (Bsp: Dick Dale),
Gesamtklang im (Dub) Reggae (Bsp: Lee Perry)
Operator \(F\) ist linear (L), wenn \(\forall a,b\in \mathbb{R}, g,h\in(\Omega\to\mathbb{R}): F(a\cdot g+b\cdot h)=a\cdot F(g) + b\cdot F(h)\)
\(F\) ist zeit-invariant (TI), wenn \(\forall t\in\mathbb{R}: \textsf{shift}_t\circ F = F\circ \textsf{shift}_t\)
Satz: jeder LTI-Filter kann als (Limes einer unendl.) Summe von \(\textsf{shift}\) und \(\textsf{scale}\) dargestellt werden
Satz: jeder lineare Filter operiert auch linear auf den Fourier-Koeffizienten.
Folgerung: Obertöne werden geschwächt oder verstärkt, aber niemals „aus dem Nichts“ erzeugt.
Das begründet den Wunsch nach nichtlinearen Filtern (Verzerrern).
Lautstärke (Volume): \(\textsf{scale}_s\)
period. Lautstärkeänderung (Tremolo) (Speed, Intensity)
ist linear, aber nicht zeit-invariant
Federhall (Reverb): \(\sum_{d\in D} \textsf{shift}_d\), linear, zeit-invariant
Tiefpaß (Bass), Hochpaß (Treble)
Dunlop Crybaby GCB95
Bandpaß mit einstellbarer Resonanz-Frequenz
Fußwippe (Pedal) \(\to\) Zahnstange \(\to\) Dreh-Potentiometer
vgl. später: spannungsgesteuerte Filter (VCF)
Boss Digital Delay (DD 3, ab 1986)
erstes Delay-Fußpedal DD 2, 1983
Echo-Zeit max. 800 ms. Samplebreite 12 bit. Ü: Taktbreite 12.5 \(\mu\)s …50 \(\mu\)s. Wieviel Bit werden gespeichert?
vgl. später: Chorus (\(=\) spannungsgest. Delay), Flanger
Flanger: \(f + \textsf{shift}_d(f)\),
ursprünglich realisiert durch zwei Tonbandmaschinen
für \(f\), für \(\textsf{shift}_d(f)\), dabei \(d\) durch Bremsen des Bandes
Chorus: \(f\mapsto f+\sum_k\textsf{shift}_{d_k}(f)\) mit \(d_k=\epsilon\cdot\sin(\omega_k t)\), kleine \(\omega_k\)
(mehrere leicht unterschiedliche Stimmen in einem Chor)
bei elektronischer Realisierung:
auch mit Rückführung des Ausgangssignales
Ibanez Swell Flanger
mit analoger Speicherkette MN3207
Ibanez PH 10 (ca. 1990),
Phaser: \(f\mapsto f + \operatorname{\textsf{Allpass}}^k(f)\), \(\operatorname{\textsf{Allpass}}(f)\): erhält Amplituden, verschiebt Phasen (frequenz-abhängig)
R. G. Keen: The technology of Phase Shifters and Flangers 1999,
(Röhren)Verstärker: eigentlich (laut, aber trotzdem) linear
Betrieb außerhalb des linearen Bereiches: technisch möglich und musikalisch interessant (Jimi Hendrix, 1966)
damit auch Bedarf nach extremen und einstellbaren nichtlinearen Bauteilen (Vorverstärker, Verzerrer)
sowie Simulation durch Transistoren (preiswert, robust)
(aber: ist anderes physikalisches Prinzip, klingt anders)
Abb. rechts: Ibanez TS5 Tubescreamer, ca. 1992
Schaltkreis-Simulation https://git.imn.htwk-leipzig.de/waldmann/circuit,
Bauen Sie einen Allpaß (lattice filter), auch Kette von solchen
(\(=\) Phaser), betrachten Sie
Impulsantwort, verwenden Sie mit effect auf Audio-Datei
(siehe unten)
mit Hydrogen und Rakarrack (oder Guitarix) Aspekte des Schlagzeugs (Rhythmus, Sound) nachbauen:
Vivien Goldman (und New Age Steppers): Private Armies Dub (1981)
(Produzent: Adrian Sherwood, vgl. Bugaloo (2003, video)
Phaser: für eine Sägezahnschwingung \(f\): bestimmen Sie Auslenkung und Spektrum des Signals \(f + \textsf{scale}_{-1}(\textsf{shift}_d (f))\) abhängig von Parameter \(d\in[0,\pi]\).
Echo, Hall, Flanger selbst implementieren:
WAVE-Datei lesen, bearbeiten (verzögern und ggf. rückkoppeln), schreiben
anwenden auf: Sinus, Rechteck, Rauschen
siehe https://gitlab.dit.htwk-leipzig.de/johannes.waldmann/effect
voriges mit dieser Implementierung vergleichen (Steve Harris) https://github.com/swh/ladspa/blob/master/phasers_1217.xml (oder andere Open-Source)
Echo, Hall, Flanger mit sox:
weißes Rauschen erzeugen
sox -n noise.wav synth 2 noisezu zeitversetzem Signal (um 300 Samples) addieren
sox -M noise.wav noise.wav out.wav delay 300s 0s remix 1,2mit sonic-visualizer Spektrum betrachten und erklären
KW 15 Einleitung
KW 16 Geräusch und Klang
KW 17 (Spektral)Analyse von Klängen
KW 18 (in Ü) Elektrische Oszillatoren und Filter
KW 19 Spannungs-gesteuerte Osz. und Filter
KW 21 Programme für Klänge (csound-expression)
KW 22 Töne (Skalen), Harmonien
KW 23 (Algebraische) Komposition (haskore, Euterpea)
KW 24 Performing with Patterns of Time (tidalcyles)
bis KW 25: Anmeldung der Abschlußprojekte
KW 25 Kombination von Mustern d. Fkt. höh. Ordnung
KW 26 Rhythmus, Breaks, Samples
KW 27 Algorithmische, stochastische Komposition
KW 28 Zusammenfassung, Ausblick