Gleichungstheoreme und induktive Th.

• Bsp. E = {P(Z, y) $\approx$ y, P(S(x), y) $\approx$ S(P(x, y))}.

  Gilt E $\models$ P(x, y) $\approx$ P(y, x)?

• Nein. Betrachte Modell A für E über $\mathbb {N}$:     [Z]_A = 0,
  
  

  [S]_A(x) = if 2| x then 2 + x else 1

  [P]_A(x, y) = if 2| x then x + y else 1

  
  A $\not\models$P(x, y) $\approx$ P(y, x), betrachte α = {(x, 2),(y, 1)}.

  Nach Satz von Birkhoff folgt P(x, y) $\not\approx$_EP(y, x).

• Beachte: ¬∃t∈Term(Σ,∅) : [t]_A = 1.

  Für alle s, t∈Term(Σ,∅) gilt P(s, t) $\approx_{E}^{}$ P(t, s).

  Sprechweise: P(x, y) $\approx$ P(x, y) ist ein induktives Theorem in E, aber kein Gleichungs-Theorem.