Hausaufgaben

1. Bezeichnungen:

   arithmetisches Mittel A(x₁,..., x_n) = ($\sum$x_i)/n, geometrisches Mittel G(x₁,..., x_n) = $\sqrt[n]{{\prod x_i)}}$.

   Aufgabe: Stelle A(x₁,…, x₄)⁴ - G(x₁,…, x₄)⁴ als Summe von Quadraten (SOS) von Polynomen dar.

   Hinweis: A(x₁, x₂)² - G(x₁, x₂)² = (x₁ - x₂)²/4 und

   A(x₁, x₂, x₃, x₄) = A(A(x₁, x₂), A(x₃, x₄))≥A(G(x₁, x₂), G(x₃, x₄))≥G(G(x₁, x₂), G(x₃, x₄)) = G(x₁, x₂, x₃, x₄).

   Zusatz: A(x₁, x₂, x₃)³ - G(x₁, x₂, x₃)³ ist kein SOS, kann aber als Bruch mit SOS im Zähler und (x + y + z) im Nenner geschrieben werden. Dazu die SOS-Darstellung der A-G-Ungleichung für die 4 Werte x₁, x₂, x₃, t = A(x₁, x₂, x₃) benutzen, denn A(x₁, x₂, x₃, t) = t und G(x₁, x₂, x₃, t)⁴ = G(x₁, x₂, x₃)³⋅t.

   Hintergrund: Bruce Reznick: Some Concrete Aspects of Hilbert's 17th Problem, 2000, https://faculty.math.illinois.edu/~reznick/.

2. das Minimalpolynom für $\sqrt{{2}}$ + $\sqrt[3]{{3}}$ nach angegebenem Verfahren ausrechnen und überprüfen.

   Ähnlich für $\sqrt{{3}}$ + $\sqrt{{5}}$ oder (z.B.) $\sqrt[5]{{3}}$ + $\sqrt[5]{{5}}$

3. Das Polynom P für „liegt auf Umkreis der Seitenmitten`` angeben (oder ähnlicher geometrischer Ort im Dreieck).

   o.B.d.A A₁ = A₂ = B₁ = 0 annehmen.

   Warum wäre zusätzlich C₂ = 0 doch eine B.d.A.?

4. für die in VL angegebene Implementierung von Polynomen:

   eine anderen Koeffizientenbereich (als Rational) benutzen, z.B. Complex Rational

   nichttriviale Rechnungen durchführen (z.B. Division von X^pq - 1 durch X^p - 1), Ergebnis prüfen,

   Laufzeit messen, Ausführung profilieren, teure Funktionen feststellen, ggf. verbessern

   Vergleichen mit derselben Rechnung in einem richtigen Computer-Algebra-System (maxima, fricas). (Nicht irgendwo online, sondern lokal, damit man messen und vergleichen kann.)